一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 ${A}$ 为 $n$ 阶方阵,且 ${A}$ 的行列式 $|{A}|=a \neq 0$, 而 ${A}^{*}$ 是 ${A}$ 的伴随矩阵, 则 $\left|{A}^{*}\right|$ 等于
$\text{A.}$ $a$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{a}$.
$\text{C.}$ $a^{n-1}$.
$\text{D.}$ $a^{n}$.
已知 $\beta_{1} 、 \beta_{2}$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同的解, $\alpha_{1} 、 \alpha_{2}$ 是对应齐次线性方程组 $A x=0$ 的基础解系, $k_{1}, k_{2}$ 为任意常数, 则方程组 $A x=b$ 的通解 (一般解) 必是
$\text{A.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{B.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
$\text{C.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}-\beta_{2}}{2}$
$\text{D.}$ $k_{1} \alpha_{1}+k_{2}\left(\beta_{1}-\beta_{2}\right)+\frac{\beta_{1}+\beta_{2}}{2}$
设 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+x f^{\prime}(x)=\ln (1+x)-\frac{\arctan x}{x+1}$, 且 $f(x)$ 有驻点 $x=x_0>0$, 则
$\text{A.}$ $x_0$ 不是 $f(x)$ 的极值点.
$\text{B.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $x_0$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{D.}$ 无法判断 $x_0$ 是否是 $f(x)$ 的极值点.
曲线 $f(x)=\int_x^{\sqrt{3}} x \sin t^2 \mathrm{~d} t$ 与直线 $x=0, x=\sqrt{3}, y=0$ 所围平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的 旋转体的体积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3} \pi \sin 3-\pi \cos 3$.
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \pi \sin 3-2 \pi \cos 3$.
$\text{D.}$ $-\pi \cos 3-\pi \sin 3$.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{a x} & x \leq 0 \\ b\left(1-x^2\right) & x>0\end{array}\right.$ 处处可导, 那么
$\text{A.}$ $a=b=1$
$\text{B.}$ $a=-2, b=-1$
$\text{C.}$ $a=0, b=1$
$\text{D.}$ $a=1, b=0$
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x, y)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x^2+y^2} \frac{\sin \sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}, & x^2+y^2 \neq 0, \\ 1, & x^2+y^2=0, x^2+y^2 \leqslant t^2,\end{cases}$ 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $|\boldsymbol{A}|=\frac{1}{2}$, 则行列式 $\left|(2 \boldsymbol{A})^{-1}-(2 \boldsymbol{A})^*\right|=$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-2 x^3\right)+x f(x)}{x^6}=3$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-2 x^2}{x^5}=$
设 $f(u)$ 为可导函数, 曲线 $y=f\left(\mathrm{e}^x\right)$ 过点 $(1,2)$, 且它在点 $(1,2)$ 处的切线过点 $(0,0)$, 那么函 数 $f(u)$ 在 $u=\mathrm{e}$ 处, 当 $u$ 取得增量 $\Delta u=0.01$ 时, 相应的函数值增量的线性主部是
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 则二重积分 $I=\iint_D \frac{x \sqrt{x^2+y^2}}{x+y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设曲线 $y=\frac{1}{x(\ln x)^{n+1}}(n=1,2, \cdots)$ 在 $\left[\mathrm{e}^2,+\infty\right)$ 上与 $x$ 轴所围无界区域的面积为
$$
a_n \text {, 求 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} \text {. }
$$
已知向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1, a+1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1, a+1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(a+1,1,1)^{\mathrm{T}}$, 记 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$.
（I）根据 $a$ 的不同取值,讨论向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性;
（II) 设 $\boldsymbol{\beta}=(1,1,-2)^{\mathrm{T}}$, 当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关时, 判断线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 是否有解, 并在有解时求其通解;
(III) 对 (II) 中 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有解时求得的 $a$, 求一个正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$, 将二次型 $\boldsymbol{f}\left(x_1, x_2, x_3\right)=$ $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}$ 化为标准形.
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.