一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 40 分，每题只有一个选项正确）
设 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)}{m x}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 1} f^{\prime}(x)=1$
设函数 $f(x)=|x|$, 则函数在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 连续且可导
$\text{B.}$ 连续且可微
$\text{C.}$ 连续不可导
$\text{D.}$ 不连续不可微
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
函数 $f(x)$ 的定义域为 $(a, b)$, 导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内的图像如图所示, 则函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有极小值点
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充分条件
$\text{D.}$ 非必要非充分条件
若 $f(x)=\int_0^{2 x} t \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f^{\prime \prime}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $y=\mathrm{e}^{\sqrt{\cos x}}$, 则 $\mathrm{d} y=$
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\int x \sin \frac{x}{3} d x$ 。
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^{10 n}\left(1-\left|\sin \frac{x}{n}\right|\right)^n \mathrm{~d} x$ 的值.
求积分 $\int_0^\pi(\sin x)^{\frac{4}{3}}(\cos x)^{\frac{2}{3}} \mathrm{~d} x$ 的值.
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
$ \int \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+4 x+13} \mathrm{~d} x$
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.
$x$ 为大于 0 的常数,构造数列 $\left\{x_n\right\}: x_1=\sqrt{x}, x_{n+1}=\sqrt{x+x_n}(n=1,2, \cdots)$.
(I) 证明: 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛;
(II) 给定正整数 $m \geqslant 2$, 求方程 $\lim x_n=m$ 的解.