一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 15 分，每题只有一个选项正确）
设 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 处连续, 且 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sin (x-a)}{f^{\prime}(x)}=-1$, 则
$\text{A.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极小值点.
$\text{B.}$ $x=a$ 是 $f(x)$ 的极大值点.
$\text{C.}$ $(a, f(a))$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点.
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 的邻域内单调.
$x=0$ 是函数 $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 连续点
$\text{D.}$ 无穷间断点
若 $f(x)=\int_0^{2 x} t \sin (x-t)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f^{\prime \prime}\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
二、解答题 （ 共 10 题，满分 85 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且满足 $f_{+}^{\prime}(a) < c < f_{-}^{\prime}(b)$, 证明: 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=c$.
计算不定积分: $\int \frac{(1-x)^3}{x^2} d x$ 。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.
考察函数 $y=\frac{x^2+3 x+2}{2(x-1)}$ 的铅直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{\sqrt{t}}-1\right) d t}{x^2 \ln (1+3 x)}$ 。
$\int x \sin \frac{x}{3} d x$ 。
求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x-5} \mathrm{~d} x$.
过点 $(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及 $x$ 轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$