辽宁工程技术大学-数学组卷-自助组卷

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辽宁工程技术大学

数学

一、单选题（共 9 题），每题只有一个选项正确

1. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本, 其中

P (X = 0) = P (X = 1) = \frac{1}{2}, Φ (x)

表示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得

P (\sum_{i = 1}^{100} X_{i} \leq 55)

的近似值为

A.

1 - Φ (1)

B.

Φ (1)

C.

1 - Φ (2)

D.

Φ (2)

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2. 设随机变量

X, Y

相互独立, 且

X \sim E (a), Y \sim E (b) (a > 0, b > 0, a \neq b)

, 则服从

E (a + b)

的随机变量是

A.

X + Y

B.

X Y

C.

max {X, Y}

D.

min {X, Y}

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3. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{8}

为来自总体

X \sim N (0, σ^{2})

的简单随机样本,

Y^{2} = \frac{1}{8} \sum_{i = 1}^{8} X_{i}^{2}

, 则下列选项正确的是

A.

X^{2} \sim χ^{2} (1)

B.

Y^{2} \sim χ^{2} (8)

C.

\frac{X}{Y} \sim t (8)

D.

\frac{X^{2}}{Y^{2}} \sim F (8, 1)

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4. 三个随机事件

A, B, C

相互独立的充分条件是

A.

A, B, C

两两独立.

B.

P (A + B + C) = 1 - P (\bar{A}) P (\bar{B}) P (\bar{C})

C.

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

D.

P (B - A) = 1

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5. 设随机变量

X

与

Y

相互独立, 且

X \sim N (0, 1)

令随机变量

Z = X Y

, 则

Z

的分布为

A.

N (- 1, 1)

B.

与

Y

同分布.

C.

N (0, 1)

D.

N (\frac{1}{3}, \frac{2}{3})

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6. 设

F_{1} (x)

与

F_{2} (x)

分别为随机变量

X_{1}

与

X_{2}

的分布函数, 为了使

F (x) = a F_{1} (x) - b F_{2} (x)

是某一随机变量的分布函数, 则下列个组中应取

A.

a = - \frac{1}{2}, b = \frac{3}{2}

B.

a = \frac{2}{3}, b = \frac{2}{3}

C.

a = \frac{3}{5}, b = - \frac{2}{5}

D.

a = \frac{1}{2}, b = - \frac{3}{2}

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7. 设

A 、 B

互不相容, 且

P (A) > 0, P (B) > 0

, 则必有

A.

P (B ∣ A) > 0

B.

P (A ∣ B) = P (A)

C.

P (A ∣ B) = 0

D.

P (A B) = P (A) P (B)

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8. 将 3 粒黄豆随机地放入 4 个杯子, 则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为（）

A.

\frac{3}{32}

B.

\frac{3}{8}

C.

\frac{1}{16}

D.

\frac{1}{8}

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9. 已知

X_{1}, X_{2}, L, X_{50}

为来自总体

X : N (2, 4)

的样本, 记

\bar{X} = \frac{1}{50} \sum_{i = 1}^{50} X_{i}

, 则

\frac{1}{4} \sum_{i = 1}^{50} {(X_{i} - \bar{X})}^{2}

服从分布为

A.

N (2, \frac{4}{50})

B.

N (\frac{2}{50}, 4)

C.

χ^{2} (50)

D.

χ^{2} (49)

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二、填空题（共 1 题），请把答案直接填写在答题纸上

10. 设总体

X \sim N (μ, 9)

, 已知样本容量为 25 , 样本均值

\bar{x} = m

; 记

u_{0.1} = a, u_{0.05} = b; t_{0.1} (24) = c, t_{0.1} (25) = d; t_{0.05} (24) = l, t_{0.05} (25) = k

,
则

μ

的置信度为

0.9

的置信区间为

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的

25 %, 35 %, 40 %

, 各车间产品的次品率分别为

5 %, 4 %, 2 %

,
求:
(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少?

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12. 设

X

与

Y

两个相互独立的随机变量, 其概率密度分别为

f_{X} (x) = {\begin{array}{rr} 1, & 0 \leq x \leq 1; \\ 0, & 其它. \end{array} f_{Y} (y) = {\begin{cases} e^{- y}, & y > 0; \\ 0, & y \leq 0 . \end{cases}

求: 随机变量

Z = X + Y

的概率密度函数.

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13. 设随机变量

X

服从参数

λ = 2

的指数分布, 证明:

Y = 1 - e^{- 2 X}

服从

(0, 1)

上的均匀分布。

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14. 设某次考试考生成绩服从正态分布, 从中随机抽取 36 位考生的成绩, 算得

\overset{―}{X} = 66.5

, 样本标准差为 15 , 问在

α = 0.05

时, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分?

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15. 在抽样检查某种产品的质量时, 如果发现次品多于 10 个, 则拒绝接受这批产品。设产品的次品率为

10 %

, 问至少应抽查多少个产品进行检查, 才能保证拒绝这批产品的概率达到

0.9 ? (Φ 1.29) = 0.9)

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16. 设

(X, Y)

服从二维正态分布,

X \sim N (1, 9), Y \sim N (0, 16), ρ_{X Y} = - \frac{1}{2}

, 设

Z = \frac{X}{3} + \frac{Y}{2}

, 求(1)

E Z, D Z

(2)

ρ_{X Z}

(3)

X

与

Z

是否相关?

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