一、单选题 （共 7 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列各式正确的是:
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=0$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=-e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域有定义, 则它在该点处可导的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{h \rightarrow+\infty} h\left[f\left(a+\frac{1}{h}\right)-f(a)\right]$ 存在
$\text{B.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a+h)}{h}$ 存在
$\text{C.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2 h}$ 存在
$\text{D.}$ $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$ 存在
函数 $y=3 x^3-x$ 在区间 $[0,1]$ 上的最小值是:
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 没有
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $-2 / 9$
. 函数 $y=1-x^2$ 在区间 $[-1.1]$ 上应用罗尔定理时, 所得到的中值=
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{a x} & x \leq 0 \\ b\left(1-x^2\right) & x>0\end{array}\right.$ 处处可导, 那么
$\text{A.}$ $a=b=1$
$\text{B.}$ $a=-2, b=-1$
$\text{C.}$ $a=0, b=1$
$\text{D.}$ $a=1, b=0$
设 $x=a$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点, 则下列论述正确的是
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f'(a)=0$
$\text{C.}$ $f''(a)=0$
$\text{D.}$ 以上都不对
二、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+\cos ^3 x-1}{(x+\sin x)^2}=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{2}{\sqrt{n^2+n}}\right)=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^2+3 x-10}{x-2} & x \neq 2 \\ a & x=2\end{array}\right.$ 在点 $x=2$ 处连续, 则 $a=$
函数 $f(x)=\frac{|x|}{\sin x}$ 的间断点为
函数 $y=2 x^2-\ln x$ 的单调减区间为
设函数 $y=\ln \tan \sqrt{x}$, 则 $d y=$
椭圆曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=b \sin t\end{array}\right.$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 相应的点处的切线方程为
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-1}{e^{x^2}-1}$
求极限 $ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x+1}{2}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)$
设函数 $y=(2-x)^2+\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)$, 求 $\frac{d y}{d x}$ 与 $d y$.
设$ y=f(x) $是由方程 $ \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^2+y^2} $ 确定的隐函数, 求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} $
计算函数 $ y=\left(\frac{x}{1+x}\right)^x $ 的一阶导数
求函数 $ y=\left(x-\frac{5}{2}\right) \sqrt{x^2} $ 的凹凸区间与拐点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上二阶可导, 函数 $g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^2+b x+c & x>0 \\ f(x) & x \leq 0\end{array}\right.$, 试确定常数 $a, b, c$ 的值, 使得函数 $g(x)$ 在 $x=0$ 点二阶可导.
证明：当 $ x> 0 $ 时, $ 1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2} $
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内可导, 且 $f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$. 试证: 必存在一点 $\xi \in(0,3)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。