一、单选题 （共 8 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设常数 $k>0$, 则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{k+n}{n^{2}}$ = （ ）
$\text{A.}$ 发散.
$\text{B.}$ 绝对收敛.
$\text{C.}$ 条件收敛.
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关.
设 $f(x)$ 可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}$, 则当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, 该函数在 $x=x_{0}$ 处的微分 $\mathrm{d} y$ 是 $(\quad)$
$\text{A.}$ 与 $\Delta x$ 等价的无穷小.
$\text{B.}$ 与 $\Delta x$ 同阶的无穷小.
$\text{C.}$ 与 $\Delta x$ 低阶的无穷小.
$\text{D.}$ 比 $\Delta x$ 高阶的无穷小.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\left(x^3-1\right) \sin x}{|x|\left(1+x^2\right)}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in(-\infty,+\infty)\right.$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有界
$\text{B.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 有界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 无界
$\text{C.}$ 存在 $X>0$, 当 $|x| < X$ 时, $f(x)$ 无界, 当 $|x|>X$ 时, $f(x)$ 有界
$\text{D.}$ 对任意 $X>0$, 当 $|x| \leqslant X$ 时, $f(x)$ 有界, 但在 $(-\infty,+\infty)$ 内无界
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f[f(x)]=$ （ ）
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
设 $f(x)=\sqrt[3]{x \sin ^2 x}(-\pi < x < \pi)$, 则 $f^{\prime}(x)=$
设 $f(x)=\int_{-x}^x \frac{\sin x t}{t} \mathrm{~d} t, x \neq 0$, 则 $\int x^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
求极限 $ \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\left(\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^{2 x}+\cdots+\mathrm{e}^{n x}\right)}{n}\right)^{\frac{1}{x}} $
曲线 $y=x \sin x+2 \cos x\left(-\frac{\pi}{2} < x < 2 \pi\right)$ 的拐点是
$\int \frac{\sin x d x}{\sin x+2 \cos x}$
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求 $\int \frac{d x}{x \sqrt{1+x^3+x^6}}$
求函数 $y=4 \mathrm{e}^{-x}\left(2 x^2+x+1\right)-5$ 的单调区间，极值，上凸区间Q与下凸区间， 以及拐点的横坐标。
设 $a_n>0$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_1+a_2+\cdots+a_n\right)$ 收敛，数列 $\left\{y_n\right\}: y_1=1,2 y_{n+1}=y_n+\sqrt{y_n^2+a_n}(n=1,2, \cdots)$. 证明: $\left\{y_n\right\}$ 是单调增加的且收敛的数列.
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别满足 $x_n=\left(1+\sin \frac{1}{n}\right)^n, a_n=\frac{x_{2 n}}{x_{2 n-1}}, b_n=\prod_{i=1}^n a_i$.
(I) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$;
(II ) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n$ 存在.