2023届湖南师大附中高三第一次月考数学

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2023届湖南师大附中高三第一次月考数学

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 复数

\frac{- 2 i}{1 + i} =

A.

- 1 - i

B.

- 1 + i

C.

1 + i

D.

1 - i

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2. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0}, B = {x ∣ y = \lg (x - 1)}

, 则

A \cap B =

A.

(3, + \infty)

B.

(- 1, + \infty)

C.

(- 1, 1)

D.

(1, 3)

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3. 已知边长为 2 的等边

△ A B C, O

为其中心, 对(1)

| \vec{A B} + \vec{B C} + \vec{C A} | = 6

; (2)

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2

;
(3)

| \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} | = 0

; (4)

3 \vec{A O} \cdot \vec{O B} = 2

这四个等式, 正确的个数是

A.

B.

C.

D.

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4. 自 5 月初，岳麓山之巅观日出在抖音走红后，每天都有上千人披星戴月登顶岳麓山看日出，登顶游客中外地游客占

\frac{3}{5}

,外地游客中有

\frac{1}{3}

乘观光车登顶．本地游客中有

\frac{1}{6}

乘观光车登顶，乘观光车登顶的票价为 20 元．若某天有 1200 人登顶观日出，则观光车营运公司这天的登顶观日出项目的营运票价收入是

A.

4800 元

B.

5000 元

C.

6400 元

D.

7200 元

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5. 已知函数

f (x) = \cos^{2} \frac{ω x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin ω x - \frac{1}{2} (ω > 0), x \in R

, 若

f (x)

在区间

(π, 2 π)

内没有零点, 则

ω

的取值范围是

A.

(0, \frac{5}{12}]

B.

(0, \frac{5}{12}] \cup [\frac{5}{6}, \frac{11}{12})

C.

(0, \frac{5}{6}]

D.

(0, \frac{5}{12}] \cup [\frac{5}{6}, \frac{11}{12}]

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6. 有一个圆台型的密闭盒子 (表面不计厚薄), 其母线与下底面成

60^{\circ}

角, 且母线长恰好等于上下底半径之和, 在圆台内放置一个球, 当球体积最大时, 设球的表面积为

S_{1}

, 圆台的侧面积为

S_{2}

, 则 ( )

A.

S_{1} > S_{2}

B.

S_{1} < S_{2}

C.

S_{1} = S_{2}

D.

无法确定

S_{1}

与

S_{2}

的大小

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7. 已知函数

f (x) = \ln (| x - 2 | + 1) - \frac{1}{x^{2} - 4 x + 5}

, 则

f (- 1), f (e^{2}), f (2^{e})

的大小关系是

A.

f (- 1) < f (2^{e}) < f (e^{2})

B.

f (- 1) < f (e^{2}) < f (2^{e})

C.

f (e^{2}) < f (- 1) < f (2^{e})

D.

f (2^{e}) < f (e^{2}) < f (- 1)

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8. 在

△ A B C

中,

A B = 5, A C = 3, \tan A = \frac{4}{3}

, 点

M, N

分别在边

A B, B C

移动, 且

M N = B N

, 沿

M N

将

△ B M N

折起来得到棱雉

B - A M N C

, 则该棱雉的体积的最大值是

A.

\frac{16 \sqrt{2}}{15}

B.

\frac{16 \sqrt{3}}{15}

C.

\frac{16 \sqrt{6}}{15}

D.

\frac{309}{128}

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二、多选题（共 4 题），每题有多个选项正确

9. 如图正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的棱长

a

, 以下结论正确的是

A.

异面直线

A_{1} D

与

A B_{1}

所成角为

60^{\circ}

B.

直线

A_{1} D

与

B C_{1}

垂直

C.

直线

A_{1} D

与

B D_{1}

平行

D.

三棱雉

A - A_{1} C D

的体积为

\frac{1}{6} a^{3}

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10. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + 2 x - 3 \ln x (a \in R)

, 下列说法正确的是

A.

a > - \frac{1}{3}

时

f (x)

存在单调递增区间

B.

a > - \frac{1}{3}

时

f (x)

存在两个极值点

C.

a \leq - \frac{1}{3}

是

f (x)

为减函数的充要条件

D.

\forall a \in R, f (x)

无极大值

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11. 已知

A, B

时抛物线

C : y^{2} = 4 x

上两动点,

F

为抛物线

C

的焦点, 则

A.

直线

A B

过焦点

F

时,

| A B |

最小值为 4

B.

直线

A B

过焦点

F

且倾斜角为

60^{\circ}

时（点

A

在第一象限）,

| A F | = 2 | B F |

C.

若

A B

中点

M

的横坐标为 3 , 则

| A B |

最大值为

8

D.

点

A

坐标

(4, 4)

且直线

A F, B F

斜率之和为

0, A F

与抛物线的另一交点为

D

, 则直线

B D

方程为:

4 x + 8 y + 7 = 0

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12. 将

n^{2}

个数排成

n

行

n

列的一个数阵. 如图: 该数阵第一列的

n

个数从上到下构成以

m

为公差的等差数列, 每一行的

n

个数从左到右构成以

m

为公比的等比数列(其中

m > 0

). 已知

a_{11} = 2, a_{13} = a_{61} + 1

记这

n^{2}

个数的和为

S

. 下列结论正确的有

\begin{array}{lllll} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots \dots & a_{n n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots \dots & a_{3 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \dots \dots & a_{n n} \end{array}

A.

m = 3

B.

\sum_{k = 1}^{18} a_{k k} = \frac{103 \times 3^{18} + 5}{4}

C.

a_{i j} = (3 i - 1) \times 3^{j}

D.

S = \frac{1}{4} n (3 n + 1) (3^{n} - 1)

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13.

{(x^{2} + \frac{2}{x})}^{6}

的展开式中常数项是

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14. 在平面直角坐标系

x O y

中, 圆

C

的方程为

x^{2} + y^{2} - 8 x + 15 = 0

, 若直线

y = k x - 2

上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆

C

有公共点, 则

k

的最大值是

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15. 在

△ A B C

中,

\tan B = 4 \tan A

, 则当

B - A

取最大值时,

\sin C =

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16. 过双曲线

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的右焦点

F

作其中一条渐近线的垂线, 垂足为

Q

, 直线

F Q

与双曲线的左、右两支分别交于点

M, N

, 若

| M Q | = 3 | Q N |

, 则双曲线的离心率是

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知数列

{a_{n}}

中

a_{1} = 1 . M (1, 1), A_{n} (2, a_{n}), B_{n} (3, 2 a_{n + 1} - 3)

为直角坐标平面上的点. 对任意

n \in N^{*}

M 、 A_{n} 、 B_{n}

三点共线.
(1) 求数列

{a_{n}}

的通项公式;
(2) 求证:

\frac{1}{a_{1} a_{3}} + \frac{1}{a_{2} a_{4}} + \frac{1}{a_{3} a_{5}} + \dots + \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}} < \frac{3}{4}

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18. 某公园要建造如图所示的绿地

O A B C, O A 、 O C

为互相垂直的墙体, 已有材料可建成的围栏

A B

与

B C

的总长度为 12 米, 且

∠ B A O = ∠ B C O

. 设

∠ B A O = α (0 < α < \frac{π}{2})

.
（1）当

A B = 3, α = \frac{5 π}{12}

时, 求

A C

的长;
(2) 当

A B = 6

时, 求

O A B C

面积

S

的最大值及此时

α

的值.

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19. 如图, 在直角

△ P O A

中,

P O ⊥ O A, P O = 2 O A = 4

, 将

△ P O A

绕边

P O

旋转到

△ P O B

的位置, 使

∠ A O B = 90^{\circ}

, 得到圆雉的一部分, 点

C

为

\overset{⏜}{A B}

上的点, 且

\overset{⏜}{A C} = \frac{1}{3} \overset{⏜}{A B}

.
(1) 求点

O

到平面

P A B

的距离;
(2) 设直线

P C

与平面

P A B

所成的角为

φ

, 求

\sin φ

的值.

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20. 某工厂为了提高生产效率, 对生产设备进行了技术改造, 为了对比技术改造后的效果, 采集了技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度 (单位: 天) 数据, 㢣理如下:
改造前:

19, 31, 22, 26, 34, 15, 22, 25, 40, 35, 18, 16, 28, 23, 34, 15, 26, 20, 24, 21

;
改造后: 32, 29, 41, 18, 26, 33, 42, 34, 37, 39, 33, 22, 42, 35, 43, 27, 41, 37, 38, 36 .
(1) 完成下面的列联表, 并依据小概率值

α = 0.010

的独立性检验, 分析判断技术改造前后的连续正常运行时间是否有差异?

（2）工厂的生产设备的运行需要进行维护, 工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种, 对生产设备设定维护周期为

T

天 (即从开工运行到第

k T

天,

k \in N^{*}

）进行维护, 生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期, 每个维护周期相互独立. 在一个维护周期内, 若生产设备能连续运行, 则只产生一次正常维护费, 而不会产生保障维护费; 若生产设备不能连续运行, 则除产生一次正常维护费外, 还产生保障维护费, 经测算, 正常维护费为

0.5

万元/次, 保障维护费第一次为

0.2

万元/周期, 此后每增加一次则保障维护费增加

0.2

万元.
现制定生产设备一个生产周期 (以 120 天计) 内的维护方案:

T = 30, k = 1, 2, 3, 4

. 以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率, 求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值.

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21. 设

F_{1}, F_{2}

分别是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0

) 的左、右焦点,

M

是

C

上一点,

M F_{2}

与

x

轴垂直, 直线

M F_{1}

与与

C

的另一个交点为

N

, 且直线

M N

的斜率为

\frac{\sqrt{2}}{4}

.
(1) 求椭圆

C

的离心率;
（2）设

D (0, 1)

是椭圆

C

的上顶点, 过

D

任作两条互相垂直的直线分别交椭圆

C

于

A, B

两点, 过点

D

作线段

A B

的垂线, 垂足为

Q

, 判断在

y

轴上是否存在定点

R

, 使得

| R Q |

的长度为定值? 并证明你的结论.

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22. 已知函数

f (x) = \frac{\sin x}{x}

.
(1) 判断函数

f (x)

在区间

(0, 3 π)

上极值点的个数并证明;
(2) 函数

f (x)

在区间

(- 0, + \infty)

上的极值点从小到大分别为

x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}, \dots

, 设

a_{n} = f (x_{n}), S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和.
（i）证明:

a_{1} + a_{2} < 0

;
（ii）问是否存在

n \in N^{*}

使得

S_{n} ⩾ 0

?若存在, 求出

n

的取值范围; 若不存在, 请说明理由

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