普通高校《高等代数(II)》期末考试试卷及答案

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普通高校《高等代数(II)》期末考试试卷及答案

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 复数域

C

作为实数域

R

上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构:

A.

数域

P

上所有二级对角矩阵作成的线性空间；

B.

数域

P

上所有二级对称矩阵作成的线性空间;

C.

数域

P

上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;

D.

复数域

C

作为复数域 C 上的线性空间。

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2. 设

A

是非零线性空间

V

的线性变换，则下列命题正确的是

A.

A

的核是零子空间的充要条件是

A

是满射;

B.

A

的核是

V

的充要条件是

A

是满射 0

C.

A

的值域是零子空间的充要条件是

A

是满射;

D.

A

的值域是 V 的充要条件是

A

是满射。

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λ -

矩阵

A (λ)

可逆的充要条件是:

A.

| A (λ) | \neq 0

B.

| A (λ) |

是一个非零常数；

C.

A (λ)

是满秩的;

D.

A (λ)

是方阵。

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4. 设实二次型

f = X^{'} A X (A

为对称阵

)

经正交变换后化为:

λ_{1} y_{1}^{2} + λ_{2} y_{2}^{2} + \dots + λ_{n} y_{n}^{2}

, 则其中的

λ_{1}, λ_{2}, \dots λ_{n}

是:

A.

\pm 1

B.

全是正数

C.

是 A 的所有特征值

D.

不确定

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5. 设 3 阶实对称矩阵

A

有三重特征根 " -2 "，则

A

的若当标准形是：

A.

(\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array})

B.

(\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \end{array})

C.

(\begin{array}{ccc} - 2 & 0 & 0 \\ 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 \end{array})

D.

以上各情形皆有可能。

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 线性空间

P [x]

的两个子空间的交

L (1 - x) ⋂ L (1 + x) =

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7. 设

ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}

与

ε_{1}^{'}, ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'}

是 n 维线性空间

V

的两个基,由

ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}

到

ε_{1}^{'}, ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'}

的过渡矩阵是 C , 列向量

X

是

V

中向量

ξ

在基

ε_{1}, ε_{2}, \dots, ε_{n}

下的坐标,则

ξ

在基

ε_{1}^{'}, ε_{2}^{'}, \dots, ε_{n}^{'}

下的坐标是

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8. 设

A 、 B

是

n

维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵,则

A

与

B

的关系是

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9. 设 3 阶方阵

A

的

3

个行列式因子分别为:

1, λ, λ^{2} (λ + 1)

, 则其特征矩阵

λ E - A

的标准形是

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10. 线性方程组

A X = B

的最小二乘解所满足的线性方程组是:

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 在线性空间

P^{4}

中,定义线性变换:

A (a, b, c, d)^{'} = (a, b, a + c, b + d)^{'} \forall (a, b, c, d)^{'} \in P^{4})

(1) 求该线性变换

A

在自然基:

ε_{1} = (1, 0, 0, 0)^{'}, ε_{2} = (0, 1, 0, 0)^{'}

ε_{3} = (0, 0, 1, 0)^{'}, ε_{4} = (0, 0, 0, 1)^{'}

下的矩阵

A;

(2)求矩阵

A

的所有特征值和特征向量。

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12. (1) 求线性空间

P [x]_{3}

中从基

(I) : 1, (x - 1), (x - 1)^{2}

到基

(I I) : 1, (x + 1), (x + 1)^{2}

的过渡矩阵;
(2) 求线性空间

P [x]_{3}

中向量

f (x) = 1 - 2 x + 3 x^{2}

在基

(I) : 1, (x - 1), (x - 1)^{2}

下的坐标。

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13. 在

R^{2}

中,

\forall α = (a_{1}, a_{2}), β = (b_{1}, b_{2})

, 规定二元函数:

(α, β) = a_{1} b_{1} - a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} + 4 a_{2} b_{2}

(1) 证明: 这是

R^{2}

的一个内积。
(2) 求

R^{2}

的一个标准正交基。

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14. 设

P^{3}

的两个子空间分别为:

W_{1} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0}, W_{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0}

证明:（1）

P^{3} = W_{1} + W_{2}

；
(2)

W_{1} + W_{2}

不是直和。

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15. 已知

A - E

是 n 级正定矩阵, 证明:
(1) A 是正定矩阵;
(2)

| A + 2 E | > 3^{n}

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