单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
复数域 $\mathbf{C}$ 作为实数域 $\mathbf{R}$ 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构:
$\text{A.}$ 数域 $\mathbf{P}$ 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；
$\text{B.}$ 数域 $\mathbf{P}$ 上所有二级对称矩阵作成的线性空间;
$\text{C.}$ 数域 $\mathbf{P}$ 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间;
$\text{D.}$ 复数域 $\mathbf{C}$ 作为复数域 C 上的线性空间。
设 $\mathcal{A}$ 是非零线性空间 $\mathbf{V}$ 的线性变换，则下列命题正确的是
$\text{A.}$ $\mathcal{A}$ 的核是零子空间的充要条件是 $\mathcal{A}$ 是满射;
$\text{B.}$ $\mathcal{A}$ 的核是 $\mathbf{V}$ 的充要条件是 $\mathcal{A}$ 是满射 0
$\text{C.}$ $\mathcal{A}$ 的值域是零子空间的充要条件是 $\mathcal{A}$ 是满射;
$\text{D.}$ $\mathcal{A}$ 的值域是 V 的充要条件是 $\mathcal{A}$ 是满射。
$\lambda-$ 矩阵 $A(\lambda)$ 可逆的充要条件是:
$\text{A.}$ $|A(\lambda)| \neq 0 $
$\text{B.}$ $|A(\lambda)|$ 是一个非零常数；
$\text{C.}$ $A(\lambda)$ 是满秩的;
$\text{D.}$ $A(\lambda)$ 是方阵。
设实二次型 $f=X^{\prime} A X(\mathbf{A}$ 为对称阵 $)$ 经正交变换后化为: $\lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\ldots+\lambda_n y_n^2$, 则其中的 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots \lambda_n$ 是:
$\text{A.}$ $ \pm 1$
$\text{B.}$ 全是正数
$\text{C.}$ 是 A 的所有特征值
$\text{D.}$ 不确定
设 3 阶实对称矩阵 $\mathbf{A}$ 有三重特征根 " -2 "，则 $\mathbf{A}$ 的若当标准形是：
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right) $
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right) $
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ 以上各情形皆有可能。
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
线性空间 $P[x]$ 的两个子空间的交 $L(1-x) \bigcap L(1+x)=$
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ 与 $\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}, \ldots, \varepsilon_n^{\prime}$ 是 n 维线性空间 $\mathbf{V}$ 的两个基,由 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ 到 $\varepsilon_1^{\prime}, \varepsilon_2^{\prime}, \ldots, \varepsilon_n^{\prime}$ 的过渡矩阵是 C , 列向量 $\mathbf{X}$ 是 $\mathbf{V}$中向量 $\xi$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ 下的坐标,则 $\xi$ 在基 $\varepsilon_1{ }^{\prime}, \varepsilon_2{ }^{\prime}, \ldots, \varepsilon_n{ }^{\prime}$ 下的坐标是
设 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 是 $\mathbf{n}$ 维线性空间 V 的某一线性变换在不同基下的矩阵,则 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 的关系是
设 3 阶方阵 $\mathbf{A}$ 的 $\mathbf{3}$ 个行列式因子分别为: $1, \lambda, \lambda^2(\lambda+1)$, 则其特征矩阵 $\lambda E-A$ 的标准形是
线性方程组$A X=B$ 的最小二乘解所满足的线性方程组是:
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在线性空间 $P^4$ 中,定义线性变换:
$$
\left.\mathcal{A}(a, b, c, d)^{\prime}=(a, b, a+c, b+d)^{\prime} \quad \forall(a, b, c, d)^{\prime} \in P^4\right)
$$
(1) 求该线性变换 $\mathcal{A}$ 在自然基: $\varepsilon_1=(1,0,0,0)^{\prime}, \varepsilon_2=(0,1,0,0)^{\prime}$ $\varepsilon_3=(0,0,1,0)^{\prime}, \varepsilon_4=(0,0,0,1)^{\prime}$ 下的矩阵 $\mathbf{A} ;$
(2)求矩阵 $\mathbf{A}$ 的所有特征值和特征向量。
(1) 求线性空间 $P[x]_3$ 中从基 $(I): 1,(x-1),(x-1)^2$ 到基 $(I I): 1,(x+1),(x+1)^2$ 的过渡矩阵;
(2) 求线性空间 $P[x]_3$ 中向量 $f(x)=1-2 x+3 x^2$ 在基 $(I): 1,(x-1),(x-1)^2$ 下的坐标。
在 $\mathrm{R}^2$ 中, $\forall \alpha=\left(a_1, a_2\right), \beta=\left(b_1, b_2\right)$, 规定二元函数:
$$
(\alpha, \beta)=a_1 b_1-a_1 b_2-a_2 b_1+4 a_2 b_2
$$
(1) 证明: 这是 $\mathrm{R}^2$ 的一个内积。
(2) 求 $\mathbf{R}^2$ 的一个标准正交基。
设 $P^3$ 的两个子空间分别为:
$$
W_1=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid x_1+x_2+x_3=0\right\}, W_2=\left\{\left(x_1, x_2, x_3\right) \mid x_1-x_2-x_3=0\right\}
$$
证明:（1） $P^3=W_1+W_2$ ；
(2) $W_1+W_2$ 不是直和。
已知 $A-E$ 是 n 级正定矩阵, 证明:
(1) A 是正定矩阵;
(2) $|A+2 E|>3^n$