1999年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科数学真题及答案

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1999年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科数学真题及答案

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 如图, I 是全集, M、P、S 是

I

的 3 个子集, 则阴影部分所表示的集合是

A.

(M \cap P) \cap S

B.

(M \cap P) \cup S

C.

(M \cap P) \cap \bar{S}

D.

(M \cap P) \cup \bar{S}

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2. 已知映射

f : A B

, 其中, 集合

A = {- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3, 4

}, 集 合 B

中的元素都是 A 中元素在映射

f

下的象，且对任意的

a \in A

，在

B

中和它对应的元素是

{a}

，则集合 B 中元素的个数是

A.

B.

C.

D.

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3. 若函数

y = f (x)

的反函数是

y = g (x), f (a) = b, a b \neq 0

，则

g (b)

等于

A.

a

B.

a - 1

C.

b

D.

b - 1

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4. 函数

f (x) = M \sin (ω x + ϱ) (ω > 0)

在区间

[a, b]

上是增函数，且

f (a) = - M, f (b)

= M

，则函数

g (x) = M \cos (ω x + ϱ)

在

[a, b]

上

A.

是增函数

B.

是減函数

C.

可以取得最大值

M

D.

可以取得最小值

- M

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5. 若

f (x) \sin x

是周期为的奇函数，则

f (x)

可以是

A.

\sin x

B.

\cos x

C.

\sin 2 x

D.

\cos 2 x

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6. 若于毫升水倒人底面半径为 2 cm 的圆杜形器皿中, 量得水面的高度为 6 cm , 若将这些水倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器且中，则水面的高度是

A.

6 \sqrt{3} cm

B.

6 cm

C.

2 \sqrt[3]{18} cm

D.

3 \sqrt[3]{12} cm

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7. 若

(2 x + \sqrt{3})^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4}

, 则

{(a_{0} + a_{2} + a_{4})}^{2} - {(a_{1} + a_{3})}^{2}

的值为

A.

B.

-1

C.

D.

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8. 直线

\sqrt{3} x + y^{2} = 0

截圆

x^{2} + y^{2} = 4

得的劣弧所对的圆心角为

A.

π / 6

B.

π / 4

C.

π / 3

D.

π / 2

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9. 如图, 在多面体 ABCDEF 中, 已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,

EF / / AB

EF = 3 / 2, EF

与面 AC 的距离为 2 , 则该多面体的体积为

A.

9 / 2

B.

C.

D.

15 / 2

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10. 若

\sin a > tg a > ctg a (- π / 2 < a < π / 2)

, 则

a \in

A.

(- π / 2, - π / 4)

B.

(- π / 4, 0)

C.

(0, π / 4)

D.

(π / 4, π / 2)

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二、填空题（共 2 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设椭圆

x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1 (a > b > 0)

的右焦点为

F_{1}

, 右准线为

l_{1}

。若过

F_{1}

且垂直于

x

轴的弦的长等于点

F_{1}

到

1_{1}

的距离, 则椭圆的离心率是

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12. 若正数

a 、 b

满足

a b = a + b + 3

, 则

a b

的取值范围是

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三、解答题（共 3 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

13. 设复数

z = 3 \cos θ + i \cdot 2 \sin θ, y = θ - \arg Z (0 < θ < π / 2)

求函数的最大值以及对应的

θ

值

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14. 已知函数

y = f (x)

的图象是自原点出发的一条折线。当

n ⩽ y ⩽ n + 1 (n = 0, 1, 2 \dots

)时，该图象是斜率为

b^{n}

的线段（其中正常数

b \neq 1

），设数列

{x_{n}}

由

f (x_{n}) = n (n = 1, 2, \dots)

定义
(1) 求

x^{1} 、 x^{2}

和

x^{n}

的表达式；
(2) 求

f (x)

的表达式，并写出其定义域：
(3) 证明:

y = f (x)

的图象与

y = x

的图象没有横坐标大于 1 的交点。

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15. 如图，给出定点

A (a, 0) (a > 0)

和直线

l : x = - 1, B

是直线

l

上的动点,

∠ B O A

的角平分线交

A B

于点

C

求点

C

的轨迹方程, 并讨论方程表示的曲线类型与

a

值的关系。

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