单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\},\left\{c_n\right\}$ 均为非负数列，
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_n=1, \lim _{n \rightarrow \infty} c_n=\infty,
$$
则必有
$\text{A.}$ $a_n < b_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{B.}$ $b_n < c_n$ 对任意 $n$ 成立
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot c_n$ 的极限不存在
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} b_n \cdot c_n$ 的极限不存在
设 $a_n=\frac{3}{2} \int_0^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^n} \mathrm{~d} x$ ，则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_n$ 等于
$\text{A.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{B.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}-1$
$\text{C.}$ $\left(1+e^{-1}\right)^{\frac{3}{2}}+1$
$\text{D.}$ $(1+e)^{\frac{3}{2}}-1$
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如下图所示，则 $f(x)$ 有
$\text{A.}$ 一个极小值点和两个极大值点
$\text{B.}$ 两个极小值点和一个极大值点
$\text{C.}$ 两个极小值点和两个极大值点
$\text{D.}$ 三个极小值点和一个极大值点
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan x}{x} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\tan x} \mathrm{~d} x$ ，则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>1$
$\text{B.}$ $1>I_1>I_2$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>1$
$\text{D.}$ $1>I_2>I_1$
设向量组 $\mathrm{I}: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由向量组 I : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 线性表示，则
$\text{A.}$ 当 $r < s$ 时，向量组 II 必线性相关
$\text{B.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 II 必线性相关
$\text{C.}$ 当 $r < s$ 时，向量组｜必线性相关
$\text{D.}$ 当 $r>s$ 时，向量组 I 必线性相关
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
若 $x \rightarrow 0$ 时， $\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x y+2 \ln x=y^4$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程是
函数 $y=2^x$ 的麦克劳林公式中 $x^n$ 项的系数是
设曲线的极坐标方程为 $\rho=e^{a \theta}(a>0)$ ，则该曲线上相应于 $\theta$ 从 0 变到 $2 \pi$ 的一段弧与极轴所围成的图形的面积为
设 $\alpha$ 为 3 维列向量， $\alpha^T$ 是 $\alpha$ 的转置，若
$$
\alpha \alpha^T=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right) \text {. }
$$
则 $\boldsymbol{\alpha}^T \boldsymbol{\alpha}=$
设三阶方阵 $A, B$ 满足 $A^2 B-A-B=E$ ，其中 $E$ 为三阶单位矩阵，若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $|B|=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\ln \left(1+a x^3\right)}{x-\arcsin x} & x < 0 \\ 6 & x=0 \\ \frac{e^{a x}+x^2-a x-1}{x \sin (x / 4)} & x>0\end{array}\right.$ ，问 $a$ 为何值时， $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续； $a$ 为何值时， $x=0$ 是 $f(x)$的可去间断点?
设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+2 t^2 \\ y=\int_1^{1+2 \ln t} \frac{e^u}{u} \mathrm{~d} u\end{array}\right.$ $(t>1)$ 所确定，求 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x-9}$.
计算不定积分 $\int \frac{x e^{\arctan x}}{\left(1+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x$.
设函数 $y=y(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内具有二阶导数，且 $y^{\prime} \neq 0, x=x(y)$ 是 $y=y(x)$ 的反函数.
(1)试将 $x=x(y)$ 所满足的微分方程
$$
\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{~d} y^2}+(y+\sin x)\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^3=0
$$
变换为 $y=y(x)$ 满足的微分方程.
(2)求变换后的微分方程满足初始条件 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=\frac{3}{2}$的解.
讨论曲线 $y=4 \ln x+k$ 与 $y=4 x+\ln ^4 x$ 的交点个数.
设位于第一象限的曲线 $y=f(x)$ 过点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ ，其上任一点 $P(x, y)$ 处的法线与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，且线段 $P Q$ 被 $x$轴平分.
(1) 求曲线 $y=f(x)$ 的方程;
（2）已知曲线 $y=\sin x$ 在 $[0, \pi]$ 上的弧长为 $l$ ，试用 $l$ 表示曲线 $y=f(x)$ 的弧长 $s$.
有一平底容器，其内侧壁是由曲线 $x=\varphi(y)(y \geq 0)$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为 2 m . 根据设计要求，当以 $3 \mathrm{~m}^3 / \mathrm{min}$ 的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以 $\pi \mathrm{m}^2 / \mathrm{min}$ 的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).
(1) 根据 $t$ 时刻液面的面积，写出 $t$ 与 $\varphi(y)$ 之间的关系式；
（2）求曲线 $x=\varphi(y)$ 的方程. (注: m 表示长度单位米， $\min$表示时间单位分.)
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>0$. 若极限 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明:
(1) 在 $(a, b)$ 内 $f(x)>0$ ；
(2) 在 $(a, b)$ 内存在点 $\xi$ ，使 $\frac{b^2-a^2}{\int_a^b f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ；
(3) 在 $(a, b)$ 内存在与 (2) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta$ ，使
$$
f^{\prime}(\eta)\left(b^2-a^2\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$
若矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & a \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ 相似于对角阵 $\Lambda$ ，试确定常数 $a$ 的值；并求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使 $P^{-1} A P=\Lambda$.
已知平面上三条不同直线的方程分别为
$$
\begin{gathered}
l_1: a x+2 b y+3 c=0, \\
l_2: b x+2 c y+3 a=0, \\
l_3: c x+2 a y+3 b=0 .
\end{gathered}
$$
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 $a+b+c=0$.