设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)>0$. 若极限 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(2 x-a)}{x-a}$ 存在，证明:
(1) 在 $(a, b)$ 内 $f(x)>0$ ；
(2) 在 $(a, b)$ 内存在点 $\xi$ ，使 $\frac{b^2-a^2}{\int_a^b f(x) \mathrm{d} x}=\frac{2 \xi}{f(\xi)}$ ；
(3) 在 $(a, b)$ 内存在与 (2) 中 $\xi$ 相异的点 $\eta$ ，使
$$
f^{\prime}(\eta)\left(b^2-a^2\right)=\frac{2 \xi}{\xi-a} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$