江苏省启东中学 2023-2024 学年度第二学期第二次月考高二数学试题

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江苏省启东中学 2023-2024 学年度第二学期第二次月考高二数学试题

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

y = f (x)

在

x = x_{0}

处可导, 且

lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + 2 Δ x) - f (x_{0})}{3 Δ x} = 1

, 则

f^{'} (x_{0}) =

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{3}{2}

C.

D.

-1

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2. 已知随机变量

X

服从两点分布,

E (X) = 0.6

, 则其成功概率为

A.

0.3

B.

0.4

C.

0.5

D.

0.6

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3. 已知点

M

在平面

A B C

内, 并且对于空间任意一点

O

, 都有

\vec{O M} = x \vec{O A} - \frac{1}{6} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}

, 则

x

的值是

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{2}{3}

D.

\frac{5}{6}

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4. 【书本 P96 例 3 改编】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著, 根据贝叶斯统计理论, 随机事件 A,

B

存在如下关系:

P (A ∣ B) = \frac{P (A) P (B ∣ A)}{P (B)}

. 若某地区一种疾病的患病率是 0.05 , 现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为

95 %

, 即在被检验者患病的前提下用该试剂检测, 有

95 %

的可能呈现阳性; 该试剂的误报率为

0.5 %

, 即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测, 有

0.5 %

的可能会误报阳性. 现随机抽取该地区的一个被检验者, 已知检验结果呈现阳性, 则此人患病的概率为

A.

\frac{495}{1000}

B.

\frac{995}{1000}

C.

\frac{10}{11}

D.

\frac{21}{22}

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5. 【概率第 10 课时改编】某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩

X

(满分 150 分) 服从正态分布

N (100, 100)

, 其中考试成绩 130 分及以上者为优秀, 考试成绩 90 分及以上者为及格. 已知优秀的人数为 13, 本次考试成绩及格的人数大约为（）

附:

P (μ + σ < X < μ + σ) = 0.6826, P (μ + 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9544, P (μ + 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9974

A.

3413

B.

1587

C.

8413

D.

6826

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6. 【计数原理第 8 课时改编】

(x - y) (2 x - y)^{5}

的展开式中

x^{3} y^{3}

的系数为

A.

-200

B.

-120

C.

120

D.

200

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7. 【概率第 6 课时改编】已知随机变量

ξ

的分布列如右图:若

D (ξ + 1) = \frac{5}{9}

, 则

E (ξ + 1) =

A.

\frac{2}{3}

B.

\frac{4}{3}

C.

\frac{2}{3}

或

\frac{4}{3}

D.

- \frac{2}{3}

或

\frac{4}{3}

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8. 【导数第 7 课时反馈 4】已知

x^{2} - y^{2} < e^{x} - e^{- y}

, 则

A.

\ln (x + y + 1) < 0

B.

(x + y)^{2} + 1 < e^{x + y}

C.

x + y < - \sin x - \sin y

D.

\cos x - \cos y > y^{2} - x^{2}

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二、多选题（共 3 题），每题有多个选项正确

9. 【统计、概率讲义改编】下列说法正确的是

A.

若随机变量

X

服从正态分布

N (3, σ^{2})

, 且

P (X \leq 4) = 0.7

, 则

P (3 < X < 4) = 0.2

B.

一组数据

10, 11, 11, 12, 13, 14, 16, 18, 20, 22

的第 60 百分位数为 14

C.

若线性相关系数

| r |

越接近 1, 则两个变量的线性相关性越强

D.

对具有线性相关关系的变量

x, y

, 且线性回归方程为

\hat{y} = 0.3 x - m

, 若样本点的中心为

(m, 2.8)

, 则实数

m

的值是 -4

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10. 【计数原理第 9 课时改编】已知

f (x) = (2 x - 3)^{n} (n \in N^{*})

展开式的二项式系数和为 512 ,

f (x) = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + \dots + a_{n} (x - 1)^{n}

, 下列选项正确的是

A.

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = 1

B.

a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + \dots + n a_{n} = 18

C.

a_{2} = 144

D.

| a_{0} | + | a_{1} | + \dots + | a_{n} | = 3^{9}

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11. 正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

的棱长为 1 , 点

P

为底面正方形

A B C D

上一动点 (包括边界),则下列选项正确的是

A.

直线

A B_{1}

与平面

A C D_{1}

所成的角的正弦值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

B.

若点

F

为

B_{1} C

中点, 点

M

为

A_{1} D

中点, 则直线

C M

和

A F

夹角的余弦值为

\frac{2}{3}

C.

若

∠ P D_{1} D = 30^{\circ}

, 则

\vec{P B} \cdot {\vec{P C}}_{1}

的最小值为

\frac{4 - \sqrt{15}}{3}

D.

若点

E

在

B D

上, 点

F

在

C B_{1}

上, 则

E F

的长度最小值为

\frac{\sqrt{3}}{3}

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

12. 某商家有一台电话交换机, 其中 5 个分机专供与顾客通话.设每个分机在

1 h

内平均占线

20 \min

, 并且各个分机是否占线是相互独立的, 则任一时刻占线的分机数目

X

的方差为

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13. 已知可导函数

f (x)

的定义域为

(0, + \infty)

, 满足

x f^{'} (x) - 2 f (x) > 0

, 且

f (2) = 4

, 则不等式

f (2^{x}) > 4^{x}

的解集是

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14. 如图, 经过边长为 1 的正方体的三个顶点的平面截正方三角形, 将这个截面上方部分去掉, 得到一个七面体, 则这个七面的最大的球半径是

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四、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 【书本P97(15)】在

{(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[4]{x}})}^{n} (n \geq 3, n \in N^{*})

的展开式中, 第

2, 3, 4

项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.

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16. 某地政府为提高当地农民收入, 指导农民种植药材, 取得较好的效果.以下是某农户近 5 年种植药材的年收入的统计数据:

(1)根据表中数据, 现决定使用

y = b x^{2} + a

模型拟合

y

与

x

之间的关系, 请求出此模型的回归方程;（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差平方和来判断模型的拟合效果.在本题中, 若残差平方和小于 0.5 , 则认为拟合效果符合要求.请判断 (1) 中回归方程的拟合效果是否符合要求, 并说明理由.

参考数据及公式:

\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}

.
设

t = x^{2}

, 则

\sum_{i = 1}^{n} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 217, \sum_{i = 1}^{n} {(t_{i} - \bar{t})}^{2} = 374

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17. 如图, 点

C

是以

A B

为直径的圆

O

上异于

A, B

的点, 平面

P A C ⊥

平面

A B C, △ P A C

是边长为 2 的正三角形.
(1)求证:

B C ⊥

平面

P A C

;
(2)若点

E, F

分别是

P C, P B

的中点, 且异面直线

A F

与

B C

所成角的正切值为

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 记平面

A E F

与平面

A B C

的交线为直线

l

, 点

Q

为直线

l

上动点, 求直线

P Q

与平面

A E F

所成角的取值范围.

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18. 已知函数

f (x) = e^{x - 1} \ln x, g (x) = x^{2} - x

.
(1) 讨论

f (x)

的单调性;
(2) 证明: 当

x \in (0, 2)

时,

f (x) ⩽ g (x)

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19. 现有两个静止且相互独立的粒子经过 1 号门进入区域一, 运行一段时间后, 再经过 2 号门进入区域二, 继续运行。两粒子经过 1 号门后由静止等可能变为 “旋转” 运动状态或 “不旋转” 运动状态, 并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到 2 号门, 经过 2 号门后, 两粒子运动状态发生改变的概率为

\frac{1}{3}

(运动状态发生改变即由区域一中的 “旋转” 运动状态变为区域二中的 “不旋转” 运动状态或区域一中的 “不旋转” 运动状态变为区域二中的 “旋转” 运动状态), 并在区域二中一直保持此运动状态.
(1)求两个粒子经过 1 号门后为 “旋转” 运动状态的条件下, 经过 2 号门后状态不变的概率;
(2) 若经过 2 号门后 “旋转” 运动状态的粒子个数为 2 , 求两个粒子经过 1 号门后均为 “旋转” 运动状态的概率;
(3) 将一个 “旋转” 运动状态的粒子经过 2 原创号门后变为 “不旋转” 运动状态, 则停止经过 2 号门, 否则将一个 “旋转” 运动状态的粒子再经过 2 号门, 直至其变为 “不旋转” 运动状态.设停止经过 2 号门时, 粒子经过 2 号门的次数为

Y (Y = 1, 2, 3, 4, \dots, n)

.

求

Y

的数学期望 (用

n

表示).

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