单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导, 且 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+2 \Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{3 \Delta x}=1$, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
已知随机变量 $X$ 服从两点分布, $E(X)=0.6$, 则其成功概率为
$\text{A.}$ 0.3
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ 0.5
$\text{D.}$ 0.6
已知点 $M$ 在平面 $A B C$ 内, 并且对于空间任意一点 $O$, 都有 $\overrightarrow{O M}=x \overrightarrow{O A}-\frac{1}{6} \overrightarrow{O B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{O C}$, 则 $x$ 的值是
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{6}$
【书本 P96 例 3 改编】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著, 根据贝叶斯统计理论, 随机事件 A, $B$ 存在如下关系: $P(A \mid B)=\frac{P(A) P(B \mid A)}{P(B)}$. 若某地区一种疾病的患病率是 0.05 , 现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为 $95 \%$, 即在被检验者患病的前提下用该试剂检测, 有 $95 \%$ 的可能呈现阳性; 该试剂的误报率为 $0.5 \%$, 即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测, 有 $0.5 \%$ 的可能会误报阳性. 现随机抽取该地区的一个被检验者, 已知检验结果呈现阳性, 则此人患病的概率为
$\text{A.}$ $\frac{495}{1000}$
$\text{B.}$ $\frac{995}{1000}$
$\text{C.}$ $\frac{10}{11}$
$\text{D.}$ $\frac{21}{22}$
【概率第 10 课时改编】某市组织高中数学测试.考试结束后发现考试成绩 $X$ (满分 150 分) 服从正态分布 $N(100,100)$, 其中考试成绩 130 分及以上者为优秀, 考试成绩 90 分及以上者为及格. 已知优秀的人数为 13, 本次考试成绩及格的人数大约为（）
附: $P(\mu+\sigma < X < \mu+\sigma)=0.6826, P(\mu+2 \sigma < X < \mu+2 \sigma)=0.9544, P(\mu+3 \sigma < X < \mu+3 \sigma)=0.9974$.
$\text{A.}$ 3413
$\text{B.}$ 1587
$\text{C.}$ 8413
$\text{D.}$ 6826
【计数原理第 8 课时改编】 $(x-y)(2 x-y)^5$ 的展开式中 $x^3 y^3$ 的系数为
$\text{A.}$ -200
$\text{B.}$ -120
$\text{C.}$ 120
$\text{D.}$ 200
【概率第 6 课时改编】已知随机变量 $\xi$ 的分布列如右图:若 $D(\xi+1)=\frac{5}{9}$, 则 $E(\xi+1)=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3}$ 或 $\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{2}{3}$ 或 $\frac{4}{3}$
【导数第 7 课时反馈 4】已知 $x^2-y^2 < \mathrm{e}^x-\mathrm{e}^{-y}$, 则
$\text{A.}$ $\ln (x+y+1) < 0$
$\text{B.}$ $(x+y)^2+1 < \mathrm{e}^{x+y}$
$\text{C.}$ $x+y < -\sin x-\sin y$
$\text{D.}$ $\cos x-\cos y>y^2-x^2$
多选题 （共 3 题 ），每题有多个选项正确
【统计、概率讲义改编】下列说法正确的是
$\text{A.}$ 若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(3, \sigma^2\right)$, 且 $P(X \leq 4)=0.7$, 则 $P(3 < X < 4)=0.2$
$\text{B.}$ 一组数据 $10,11,11,12,13,14,16,18,20,22$ 的第 60 百分位数为 14
$\text{C.}$ 若线性相关系数 $|r|$ 越接近 1, 则两个变量的线性相关性越强
$\text{D.}$ 对具有线性相关关系的变量 $x, y$, 且线性回归方程为 $\hat{y}=0.3 x-m$, 若样本点的中心为 $(m, 2.8)$, 则实数 $m$ 的值是 -4
【计数原理第 9 课时改编】已知 $f(x)=(2 x-3)^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 展开式的二项式系数和为 512 , $f(x)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+\cdots+a_n(x-1)^n$, 下列选项正确的是
$\text{A.}$ $a_1+a_2+\cdots+a_n=1$
$\text{B.}$ $a_1+2 a_2+3 a_3+\cdots+n a_n=18$
$\text{C.}$ $a_2=144$
$\text{D.}$ $\left|a_0\right|+\left|a_1\right|+\cdots+\left|a_n\right|=3^9$
正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 1 , 点 $P$ 为底面正方形 $A B C D$ 上一动点 (包括边界),则下列选项正确的是
$\text{A.}$ 直线 $A B_1$ 与平面 $A C D_1$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ 若点 $F$ 为 $B_1 C$ 中点, 点 $M$ 为 $A_1 D$ 中点, 则直线 $C M$ 和 $A F$ 夹角的余弦值为 $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ 若 $\angle P D_1 D=30^{\circ}$, 则 $\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}_1$ 的最小值为 $\frac{4-\sqrt{15}}{3}$
$\text{D.}$ 若点 $E$ 在 $B D$ 上, 点 $F$ 在 $C B_1$ 上, 则 $E F$ 的长度最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
某商家有一台电话交换机, 其中 5 个分机专供与顾客通话.设每个分机在 $1 \mathrm{~h}$ 内平均占线 $20 \mathrm{~min}$, 并且各个分机是否占线是相互独立的, 则任一时刻占线的分机数目 $X$ 的方差为
已知可导函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$, 满足 $x f^{\prime}(x)-2 f(x)>0$, 且 $f(2)=4$, 则不等式 $f\left(2^x\right)>4^x$ 的解集是
如图, 经过边长为 1 的正方体的三个顶点的平面截正方三角形, 将这个截面上方部分去掉, 得到一个七面体, 则这个七面的最大的球半径是
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
【书本P97(15)】在 $\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2 \sqrt[4]{x}}\right)^n\left(n \geq 3, n \in N^*\right)$ 的展开式中, 第 $2,3,4$ 项的二项式系数依次成等差数列.
(1)证明展开式中没有常数项;
(2)求展开式中所有的有理项.
某地政府为提高当地农民收入, 指导农民种植药材, 取得较好的效果.以下是某农户近 5 年种植药材的年收入的统计数据:
(1)根据表中数据, 现决定使用 $y=b x^2+a$ 模型拟合 $y$ 与 $x$ 之间的关系, 请求出此模型的回归方程;（结果保留一位小数）
(2)统计学中常通过计算残差平方和来判断模型的拟合效果.在本题中, 若残差平方和小于 0.5 , 则认为拟合效果符合要求.请判断 (1) 中回归方程的拟合效果是否符合要求, 并说明理由.
参考数据及公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.
设 $t=x^2$, 则 $\sum_{i=1}^n\left(t_i-\bar{t}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)=217, \sum_{i=1}^n\left(t_i-\bar{t}\right)^2=374$.
如图, 点 $C$ 是以 $A B$ 为直径的圆 $O$ 上异于 $A, B$ 的点, 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, \triangle P A C$ 是边长为 2 的正三角形.
(1)求证: $B C \perp$ 平面 $P A C$;
(2)若点 $E, F$ 分别是 $P C, P B$ 的中点, 且异面直线 $A F$ 与 $B C$ 所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 记平面 $A E F$ 与平面 $A B C$的交线为直线 $l$, 点 $Q$ 为直线 $l$ 上动点, 求直线 $P Q$ 与平面 $A E F$ 所成角的取值范围.
已知函数 $f(x)=e^{x-1} \ln x, g(x)=x^2-x$.
(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性;
(2) 证明: 当 $x \in(0,2)$ 时, $f(x) \leqslant g(x)$.
现有两个静止且相互独立的粒子经过 1 号门进入区域一, 运行一段时间后, 再经过 2 号门进入区域二, 继续运行。两粒子经过 1 号门后由静止等可能变为 “旋转” 运动状态或 “不旋转” 运动状态, 并在区域一中保持此运动状态直到两粒子到 2 号门, 经过 2 号门后, 两粒子运动状态发生改变的概率为 $\frac{1}{3}$ (运动状态发生改变即由区域一中的 “旋转” 运动状态变为区域二中的 “不旋转” 运动状态或区域一中的 “不旋转” 运动状态变为区域二中的 “旋转” 运动状态), 并在区域二中一直保持此运动状态.
(1)求两个粒子经过 1 号门后为 “旋转” 运动状态的条件下, 经过 2 号门后状态不变的概率;
(2) 若经过 2 号门后 “旋转” 运动状态的粒子个数为 2 , 求两个粒子经过 1 号门后均为 “旋转” 运动状态的概率;
(3) 将一个 “旋转” 运动状态的粒子经过 2 原创号门后变为 “不旋转” 运动状态, 则停止经过 2 号门, 否则将一个 “旋转” 运动状态的粒子再经过 2 号门, 直至其变为 “不旋转” 运动状态.设停止经过 2 号门时, 粒子经过 2 号门的次数为 $Y(Y=1,2,3,4, \cdots, n)$.
求 $Y$ 的数学期望 (用 $n$ 表示).