2024年北京科技大学数学分析考研真题及参考解答

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2024年北京科技大学数学分析考研真题及参考解答

一、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \cdot \tan x})

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2. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{1}{2} x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}}{(\cos x - e^{x^{2}}) \cdot \sin (x^{2})}

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3. 设

g (0) = 0, g^{'} (0) = 1

，分析

f (x) = {\begin{cases} g (x) \sin (\frac{1}{x}), x > 0, \\ g (x) \cos x, x \leq 0 \end{cases}

在

x = 0

处的连续性和可导性.

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4. 求

I = \int x e^{a x} \cos (b x) d x

以及

J = \int x e^{a x} \sin (b x) d x

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5. 设正数列

{a_{n}}

满足

a_{n} = \frac{a_{n + 1}^{2}}{n} + a_{n + 1}, (n = 1, 2, 3, \dots) .

计算极限

lim_{n \to \infty} a_{n} \cdot \ln n

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6. 设函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上有二阶导数，且

f^{(k)} (a) = f^{(k)} (b) = 0, (k = 0, 1) .

证明: 存在

ξ \in (a, b)

，使得

f^{(2)} (ξ) = f (ξ)

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7. 利用致密性定理证明闭区间上的连续函数必然是有界的.

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8. 按照

p

的范围来说明级数

\sum_{n = 1}^{\infty} [\frac{1}{n^{p}} - \ln (1 + \frac{1}{n^{p}})], (p > 0)

的收敛性.

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9. 求曲面

x = r \cos φ, y = r \sin φ, z = r \cot α

在点

M_{0} (r_{0}, φ_{0})

处的切平面方程和法线，其中

α

为某常数.

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10. 讨论级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{1} (- 1)^{n} (1 - x) \cdot x^{n} d x

的收敛性并计算其和.

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11. 设函数

f (x)

连续，

Σ

是球面:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 ，且 a, b, c 是常数.

证明:

\iint_{Σ} f (a x + b y + c z) d S = 2 π \int_{- 1}^{1} f (\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} u) d u .

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12. 设

a > 0, b > 0 ， m \neq 0

为某常数，计算积分:

I (a, b) = \int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- a x} - e^{- b x}}{x} \cos (m x) d x .

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13. 设

P (x, y), Q (x, y)

在

R^{2}

上有二阶连续偏导数，若对以任一点

(x_{0}, y_{0}) \in R^{2}

为中心，以任意

r > 0

为半径的上半圆周

L_{r} : y - y_{0} = \sqrt{r^{2} - {(x - x_{0})}^{2}} .

均有

I (r) = \int_{L_{r}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0

. 证明:

P (x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q (x, y)}{\partial x} \equiv 0

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