2018年初中数学联赛试题及答案.



一、单选题 (共 12 题 ),每题只有一个选项正确
1. 设二次函数 y=x2+2ax+a22 的图象的顶点为 A, 与 x 轴的交点为 B,C. 当 ABC 为等边三角形时, 其边长为
A. 6. B. 22. C. 23. D. 32.

2. 如图, 在矩形 ABCD 中, BAD 的平分线交 BD 于点 E,AB=1,CAE=15, 则 BE=
A. 33. B. 22. C. 21. D. 31.

3.p,q 均为大于 3 的素数, 则使 p2+5pq+4q2 为完全平方数的素数对 (p,q) 的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4. 若实数 a,b 满足 ab=2,(1a)2b(1+b)2a=4, 则 a5b5=
A. 46 . B. 64 . C. 82 . D. 128.

5. 对任意的整数 x,y, 定义 x@y=x+yxy, 则使得 (x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y =0 的整数组 (x,y,z) 的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.M=12018+12019+12020++12050, 则 1M 的整数部分是
A. 60 B. 61 C. 62 D. 63

7. 满足 (x2+x1)x+2=1 的整数 x 的个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8. 已知 x1,x2,x3(x1<x2<x3) 为关于 x 的方程 x33x2+(a+2)xa=0 的三个实数根, 则 4x1x12+x22+x32=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

9. 已知点 E,F 分别在正方形 ABCD 的边 CD,AD 上, CD=4CE,EFB=FBC, 则 tanABF=
A. 12. B. 35. C. 22. D. 32.

10. 方程 3+9+x=x3 的实数根的个数为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

11.a,b,c 为三个实数, 它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018 , 则这样的三元数组 (a,b,c) 的个数为
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

12. 已知实数 a,b 满足 a33a2+5a=1,b33b2+5b=5, 则 a+b=
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二、填空题 (共 8 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
13. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, BC=2AB,CEABE,FAD 的中点, 若 AEF=48,则 B=

14. 若实数 x,y 满足 x3+y3+14(x+y)=152, 则 x+y 的最大值为

15. 没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为

16. 已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a2+b2+c2=1, 则 a5+b5+c5abc=

17. 已知 p,q,r 为素数, 且 pqr 整除 pq+qr+rp1, 则 p+q+r=

18. 已知两个正整数的和比它们的积小 1000 , 若其中较大的数是完全平方数, 则较小的数为

19. 已知 DABC 内一点, EAC 的中点, AB=6,BC=10,BAD=BCD, EDC=ABD, 则 DE=

20. 已知二次函数 y=x2+2(m+2n+1)x+(m2+4n2+50) 的图象在 x 轴的上方, 则满足条件的正整数对 (m,n) 的个数为

三、解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
21.a,b,c,d 为四个不同的实数, 若 a,b 为方程 x210cx11d=0 的根, c,d为方程 x210ax11b=0 的根, 求 a+b+c+d 的值.

22. 如图, 在扇形 OAB 中, AOB=90,OA=12, 点 COA 上, AC=4,点 DOB 的中点, 点 E 为弧 AB 上的动点, OECD 的交点为 F.
(1) 当四边形 ODEC 的面积 S 最大时, 求 EF;
(2) 求 CE+2DE 的最小值.


23. 求所有的正整数 m,n, 使得 m3+n3m2n2(m+n)2 是非负整数.

24. 若实数 a,b,c 满足 (a+b+c)(1a+b5c+1b+c5a+1c+a5b)=95, 求 (a+b+c)(1a+1b+1c) 的值.

25. 如图, 点 E 在四边形 ABCD 的边 AB 上, ABCCDE 都是等腰直角三角形, AB=AC,DE=DC.
(1) 证明: AD//BC; (2) 设 ACDE 交于点 P, 如果 ACE=30, 求 DPPE.

26.x 是一个四位数, x 的各位数字之和为 m,x+1 的各位数字之和为 n, 并且 mn 的最大公约数是一个大于 2 的素数. 求 x.

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