南开大学 2022 年研究生入学考试数学分析试题解答

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一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求定积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin^{4} x + \cos^{4} x - 5} d x

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2. 计算二重积分

\iint_{D} \sin (max {x^{2}, y^{2}}) d x d y,

其中区域

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x, y \leq \sqrt{π}}

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3. 求级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n (2 n + 1)}

的和.

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4. 设

f (x, y) = x^{3} - 3 x^{2} y - y^{3} + x^{2} - y

.
(1) 证明: 存在

δ > 0

, 以及定义于

(- δ, δ)

上的连续可微函数

y = y (x)

, 满足

y (0) = 0

, 以及

f (x, y (x)) = 0

.
(2) 证明:

x = 0

时 (1) 中的

y (x)

取到极小值.

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5. 设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

上可导且下凸, 证明: 对任意的实数

x

, 都有

f (x + f^{'} (x)) \geq f (x)

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6. 设

x_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!}, n = 1, 2, \dots

, 求极限

lim_{n \to \infty} (\frac{\ln x_{n}}{\sqrt[n]{e} - 1} - n) .

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