解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x-5} \mathrm{~d} x$.
计算二重积分$\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,$ 其中区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq \sqrt{\pi}\}$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2 n+1)}$ 的和.
设 $f(x, y)=x^3-3 x^2 y-y^3+x^2-y$.
(1) 证明: 存在 $\delta>0$, 以及定义于 $(-\delta, \delta)$ 上的连续可微函数 $y=y(x)$, 满足 $y(0)=0$, 以及 $f(x, y(x))=0$.
(2) 证明: $x=0$ 时 (1) 中的 $y(x)$ 取到极小值.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且下凸, 证明: 对任意的实数 $x$, 都有 $f\left(x+f^{\prime}(x)\right) \geq f(x)$.
设 $x_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k !}, n=1,2, \cdots$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln x_n}{\sqrt[n]{\mathrm{e}}-1}-n\right) .$