2023中科大创新班初试数学试题解答(节选)



一、单选题 (共 1 题 ),每题只有一个选项正确
1. 数列 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,, 其中第一项为 20, 接下来两项是 20,21, 再接下来三项是 20,21,22, 依次类推。若整数 N 满足 N>100 且数列的前 N 项和为 2 的整数募, 则 N 的最小值为
A. 440 B. 330 C. 220 D. 110

二、解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
2. 复数 z 满足 z2023z1=0 ,求证: |z|1 当且仅当 (z)12.

3.θ(π4,π2) 时, 比大小: (cosθ)cosθ,(sinθ)cosθ,(cosθ)sinθ

4. 甲从 [0,2017] 中任取一实数, 乙从 [0,4034] 中任取一实数, 求乙所取的数大于甲的概率。

5. 甲、乙两盒中各放 2 只兔子,一雌一雄. 称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换,记 n 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为 pn. 求 pnlimnpn.

6. (1) x>0, 证明: xx36<sinx<x.
(2) 0<a1<3an+1=ansinann+1. 证明: 对任意正整数 n ,都有 nan<3a13a12.

7. 设双曲线 x2y2=1 上一点 P,O 为原点, 若直线 OP 上一点 Q, 满足 OP×OQ=1, 求 Q 点轨迹方程。

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