单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, \cdots \cdots$, 其中第一项为 $2^0$, 接下来两项是 $2^0, 2^1$, 再接下来三项是 $2^0, 2^1, 2^2$, 依次类推。若整数 $N$ 满足 $N>100$ 且数列的前 $N$ 项和为 2 的整数募, 则 $\mathrm{N}$ 的最小值为
$\text{A.}$ 440
$\text{B.}$ 330
$\text{C.}$ 220
$\text{D.}$ 110
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
复数 $z$ 满足 $z^{2023}-z-1=0$ ，求证: $|z| \leq 1$ 当且仅当 $\Re(z) \leq-\frac{1}{2}$.
当 $\theta \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, 比大小: $(\cos \theta)^{\cos \theta},(\sin \theta)^{\cos \theta},(\cos \theta)^{\sin \theta}$
甲从 $[0,2017]$ 中任取一实数, 乙从 $[0,4034]$ 中任取一实数, 求乙所取的数大于甲的概率。
甲、乙两盒中各放 2 只兔子，一雌一雄. 称一次操作是从甲、乙盒中各随机抽一支兔子交换，记 $n$ 次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率为 $p_n$. 求 $p_n$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} p_n$.
(1) $x>0$, 证明: $x-\frac{x^3}{6} < \sin x < x$.
(2) $0 < a_1 < \sqrt{3} ， a_{n+1}=a_n-\frac{\sin a_n}{n+1}$. 证明: 对任意正整数 $n$ ，都有 $n a_n < \frac{3 a_1}{3-a_1^2}$.
设双曲线 $x^2-y^2=1$ 上一点 $\mathrm{P}, \mathrm{O}$ 为原点, 若直线 $\mathrm{OP}$ 上一点 $\mathrm{Q}$, 满足 $O P \times O Q=1$, 求 $Q$ 点轨迹方程。