微积分基础训练

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微积分基础训练

一、解答题（共 14 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求极限:

lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n^{2} + 1} + \frac{n}{n^{2} + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n})

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2. 求极限

lim_{x \to \infty} {[\frac{x^{2}}{(x - a) (x + b)}]}^{x}

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3. 计算:

lim_{x \to 0} \frac{\int_{x}^{0} \ln (1 + t) d t}{x^{2}}

。

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4.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - (a x + b x^{2})}{x^{2}} = 2

, 问

a = ?, b = ?

。

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5. 计算:

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \frac{3}{n^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2}})

。

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6. 设方程:

{\begin{cases} x = 3 t^{2} + 2 t \\ y = e^{y} \sin t + 1 \end{cases}

, 求

{\frac{d y}{d x} |}_{t = 0}

。

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7. 设方程:

{\begin{cases} x = \frac{1}{t + 1} \\ y = \frac{t}{(t + 1)^{2}} \end{cases}

求

\frac{d y}{d x}

。

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8. 设方程:

{\begin{cases} x = e^{t} \cos t \\ y = e^{t} \sin t \end{cases}

, 求

{\frac{d y}{d x} |}_{t = \frac{π}{2}}

。

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9. 计算不定积分:

\int \frac{(1 - x)^{3}}{x^{2}} d x

。

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10. 计算不定积分:

\int \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} (x^{2} + 1)} d x

。

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11. 计算不定积分:

\int x^{3} \sqrt{x^{4} + 5} d x

。

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12. 计算定积分:

\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{- x}}{\sqrt{25 e^{2 x} - 16}} d x

。

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13. 设随机变量

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{1}{9} x^{2}, & 0 < x < 3 \\ 0 & , 其他 \end{array}

令随机变量

Y = {\begin{cases} 2, & X \leq 1 \\ X, & 1 < X < 2 \\ 1, & X \geq 2 \end{cases}

.
(1) 求

Y

的分布函数；
(2) 求概率

P {X \leq Y}

.

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14. 设总体

X

的概率密度为

f (x; θ) = {\begin{cases} \frac{θ^{2}}{x^{3}} e^{- \frac{θ}{x}}, x > 0 \\ 0, & 其他 \end{cases}

其中

θ

为未知参数且大于零，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求

θ

的矩估计量;
(2) 求

θ

的最大似然估计量.

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