解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
计算: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^0 \ln (1+t) d t}{x^2}$ 。
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
计算: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}\right)$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t \\ y=e^y \sin t+1\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{t+1} \\ y=\frac{t}{(t+1)^2}\end{array}\right.$ 求 $\frac{d y}{d x}$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=e^t \cos t \\ y=e^t \sin t\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ 。
计算不定积分: $\int \frac{(1-x)^3}{x^2} d x$ 。
计算不定积分: $\int \frac{2 x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)} d x$ 。
计算不定积分: $\int x^3 \sqrt{x^4+5} d x$ 。
计算定积分: $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{25 e^{2 x}-16}} d x$ 。
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{9} x^2, & 0 < x < 3 \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
令随机变量 $Y=\left\{\begin{array}{ll}2, & X \leq 1 \\ X, & 1 < X < 2 \\ 1, & X \geq 2\end{array}\right.$.
(1) 求 $Y$ 的分布函数；
(2) 求概率 $P\{X \leq Y\}$.
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)= \begin{cases}\frac{\theta^2}{x^3} e^{-\frac{\theta}{x}}, x>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中 $\theta$ 为未知参数且大于零， $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(2) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.