西北工业大学2023年数学分析(回忆版)-公众号高等数学研究



一、解答题 (共 10 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 求极限 limx0(1+sin2x)1902(cosx)2022tan2x

2. 求极限limn+(n+1)(n+2)(n+n)nn

3.0<x0<π2 ,作迭代序列 xn=sin(xn1)n=1,2,.
(1) 证明 limn+xn=0
(2)证明 {nxn2} 收敛,并求其极限

4. 设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上有连续二阶导,且 f(a)=f(b)=0
证明: (1) abf(x)dx=12ab(xa)(xb)f(x)dx
(2) |abf(x)dx|112(ba)3maxx[a,b]|f(x)|

5.z=z(x,y) 是方程 z3=1+3xy 所确定的隐函数,求 2zxy

6. 证明: 当 x0,y0 时, 有 x2+y24ex+y2

7. 求曲面积分 I=Σ4xzdydz2yzdzdx+(1z2)dxdy其中 是由 z=ey(0y1)z轴旋转一周得到的曲面,方向取下侧。

8. 证明 f(x)=0+sin(xy)ydy[0,+) 上不一致收敛,但在 (0,+) 上连续

9. 求函数 f(x)=arctan12x1+2xx=0 处的幂级数展开式,并求 n=0(1)n2n+1.

10. 设D是由简单光滑闭曲线L围成的区域, f(x,y)D¯ 上有连续偏导,记 d=max(xy)Dx2+y2
(1) 证明 Df(x,y)dxdy=L(xy)DxfdyDxfxdxdy
(2)若对 (x,y)L ,有 f(x,y)=0. 证明
Df2(xy)dxdyd2D[(fx)2+(fy)2]dxdy

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