全国初中数学联合竞赛试题及详解

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全国初中数学联合竞赛试题及详解

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 用

[x]

表示不超过

x

的最大整数, 把

x - [x]

称为

x

的小数部分. 已知

t = \frac{1}{2 - \sqrt{3}}, a

是

t

的小数部分,

b

是

- t

的小数部分, 则

\frac{1}{2 b} - \frac{1}{a} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

1

D.

\sqrt{3}

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2. 三种图书的单价分别为 10 元、 15 元和 20 元, 某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本, 那么不同的购书方案有

A.

9种

B.

10种

C.

11种

D.

12种

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3. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差, 则称这个正整数为 “和谐数”.如:

2 = 1^{3} - (- 1)^{3}, 26 = 3^{3} - 1^{3}, 2

和 26 均为 “和谐数”. 那么, 不超过 2016 的正整数中,所有的 “和谐数” 之和为

A.

6858

B.

6860

C.

9260

D.

9262

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4. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + 1 (a \neq 0)

的图象的顶点在第二象限, 且过点

(1, 0)

.当

a - b

为整数时,

a b =

A.

0

B.

\frac{1}{4}

C.

- \frac{3}{4}

D.

- 2

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5. 已知

⊙ O

的半径

O D

垂直于弦

A B

, 交

A B

于点

C

, 连接

A O

并延长交

⊙ O

于点

E

,若

A B = 8, C D = 2

, 则

△ B C E

的面积为

A.

B.

C.

D.

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6. 如图, 在四边形

A B C D

中,

∠ B A C = ∠ B D C = 90^{\circ}, A B = A C = \sqrt{5}, C D = 1

, 对角线的交点为

M

, 则

D M =

A.

\frac{\sqrt{3}}{2}

B.

\frac{\sqrt{5}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\frac{1}{2}

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7. 设实数

x, y, z

满足

x + y + z = 1

, 则

M = x y + 2 y z + 3 x z

的最大值为

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

1

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 已知

△ A B C

的顶点

A 、 C

在反比例函数

y = \frac{\sqrt{3}}{x} (x > 0)

的图象上,

∠ A C B = 90^{\circ}, ∠ A B C = 30^{\circ}, A B ⊥ x

轴, 点

B

在点

A

的上方, 且

A B = 6

, 则点

C

的坐标为

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9. 已知

△ A B C

的最大边

B C

上的高线

A D

和中线

A M

恰好把

∠ B A C

三等分,

A D = \sqrt{3}

, 则

A M =

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10. 在四边形

A B C D

中,

B C / / A D, C A

平分

∠ B C D, O

为对角线的交点,

C D = A O, B C = O D

, 则

∠ A B C =

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11. 有位学生忘记写两个三位数间的乘号, 得到一个六位数, 这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍, 这个六位数是

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12. 若质数

p 、 q

满足:

3 q - p - 4 = 0, p + q < 111

, 则

p q

的最大值为

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13. 将 5 个

1 、 5

个

2 、 5

个

3 、 5

个

4 、 5

个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数), 使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2 . 考虑每列中各数之和, 设这 5 个和的最小值为

M

, 则

M

的最大值为

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 已知

a, b

为正整数, 求

M = 3 a^{2} - a b^{2} - 2 b - 4

能取到的最小正整数值.

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15. 如图, 点

C

在以

A B

为直径的

⊙ O

上,

C D ⊥ A B

于点

D

, 点

E

在

B D

上,

A E = A C

, 四边形

D E F M

是正方形,

A M

的延长线与

⊙ O

交于点

N

. 证明:

F N = D E

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16. 已知:

a + b + c = 5, a^{2} + b^{2} + c^{2} = 15, a^{3} + b^{3} + c^{3} = 47

.求

(a^{2} + a b + b^{2}) (b^{2} + b c + c^{2}) (c^{2} + c a + a^{2})

的值.

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17. 已知正实数

x, y, z

满足:

x y + y z + z x \neq 1

, 且

\frac{(x^{2} - 1) (y^{2} - 1)}{x y} + \frac{(y^{2} - 1) (z^{2} - 1)}{y z} + \frac{(z^{2} - 1) (x^{2} - 1)}{z x} = 4 .

(1) 求

\frac{1}{x y} + \frac{1}{y z} + \frac{1}{z x}

的值.
(2) 证明:

9 (x + y) (y + z) (z + x) \geq 8 x y z (x y + y z + z x)

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18. 如图, 在等腰

△ A B C

中,

A B = A C = \sqrt{5}, D

为

B C

边上异于中点的点, 点

C

关于直线

A D

的对称点为点

E, E B

的延长线与

A D

的延长线交于点

F

, 求

A D \cdot A F

的值.

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