单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 把 $x-[x]$ 称为 $x$ 的小数部分. 已知 $t=\frac{1}{2-\sqrt{3}}, a$ 是 $t$ 的小数部分, $b$ 是 $-t$ 的小数部分, 则 $\frac{1}{2 b}-\frac{1}{a}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $1$
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$
三种图书的单价分别为 10 元、 15 元和 20 元, 某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本, 那么不同的购书方案有
$\text{A.}$ 9种
$\text{B.}$ 10种
$\text{C.}$ 11种
$\text{D.}$ 12种
如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差, 则称这个正整数为 “和谐数”.如: $2=1^3-(-1)^3, 26=3^3-1^3, 2$ 和 26 均为 “和谐数”. 那么, 不超过 2016 的正整数中,所有的 “和谐数” 之和为
$\text{A.}$ 6858
$\text{B.}$ 6860
$\text{C.}$ 9260
$\text{D.}$ 9262
已知二次函数 $y=a x^2+b x+1(a \neq 0)$ 的图象的顶点在第二象限, 且过点 $(1,0)$.当 $a-b$ 为整数时, $a b=$
$\text{A.}$ $0$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-2$
已知 $\odot O$ 的半径 $O D$ 垂直于弦 $A B$, 交 $A B$ 于点 $C$, 连接 $A O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$,若 $A B=8, C D=2$, 则 $\triangle B C E$ 的面积为
$\text{A.}$ 12
$\text{B.}$ 15
$\text{C.}$ 16
$\text{D.}$ 18
如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B A C=\angle B D C=90^{\circ}, A B=A C=\sqrt{5}, C D=1$, 对角线的交点为 $M$, 则 $D M=$
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设实数 $x, y, z$ 满足 $x+y+z=1$, 则 $M=x y+2 y z+3 x z$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $1 $
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\triangle A B C$ 的顶点 $A 、 C$ 在反比例函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{x}(x>0)$ 的图象上, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A B C=30^{\circ}, A B \perp x$ 轴, 点 $B$ 在点 $A$ 的上方, 且 $A B=6$, 则点 $C$ 的坐标为
已知 $\triangle A B C$ 的最大边 $B C$ 上的高线 $A D$ 和中线 $A M$ 恰好把 $\angle B A C$ 三等分, $A D=\sqrt{3}$, 则 $A M=$
在四边形 $A B C D$ 中, $B C / / A D, C A$ 平分 $\angle B C D, O$ 为对角线的交点, $C D=A O, B C=O D$, 则 $\angle A B C=$
有位学生忘记写两个三位数间的乘号, 得到一个六位数, 这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍, 这个六位数是
若质数 $p 、 q$ 满足: $3 q-p-4=0, p+q < 111$, 则 $p q$ 的最大值为
将 5 个 $1 、 5$ 个 $2 、 5$ 个 $3 、 5$ 个 $4 、 5$ 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数), 使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 2 . 考虑每列中各数之和, 设这 5 个和的最小值为 $M$, 则 $M$ 的最大值为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $a, b$ 为正整数, 求 $M=3 a^2-a b^2-2 b-4$ 能取到的最小正整数值.
如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的 $\odot O$ 上, $C D \perp A B$ 于点 $D$, 点 $E$ 在 $B D$ 上, $A E=A C$, 四边形 $D E F M$ 是正方形, $A M$ 的延长线与 $\odot O$ 交于点 $N$. 证明: $F N=D E$.
已知: $a+b+c=5, a^2+b^2+c^2=15, a^3+b^3+c^3=47$.求 $\left(a^2+a b+b^2\right)\left(b^2+b c+c^2\right)\left(c^2+c a+a^2\right)$ 的值.
已知正实数 $x, y, z$ 满足: $x y+y z+z x \neq 1$, 且
$$
\frac{\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)}{x y}+\frac{\left(y^2-1\right)\left(z^2-1\right)}{y z}+\frac{\left(z^2-1\right)\left(x^2-1\right)}{z x}=4 .
$$
(1) 求 $\frac{1}{x y}+\frac{1}{y z}+\frac{1}{z x}$ 的值.
(2) 证明: $9(x+y)(y+z)(z+x) \geq 8 x y z(x y+y z+z x)$.
如图, 在等腰 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=\sqrt{5}, D$ 为 $B C$ 边上异于中点的点, 点 $C$ 关于直线 $A D$ 的对称点为点 $E, E B$ 的延长线与 $A D$ 的延长线交于点 $F$, 求 $A D \cdot A F$ 的值.
