第十五届大学生数学竞赛初赛试题及参考解答（B）

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第十五届大学生数学竞赛初赛试题及参考解答（B）

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. (1)

lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 3}{x + 2})}^{2 x - 1} =

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2. 设

z = f (x^{2} - y^{2}, x y)

, 且

f (u, v)

有连续的二阶偏导数,则

\frac{\partial z^{2}}{\partial x \partial y} =

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3. 设曲线

y = \ln (1 + a x) + 1

与曲线

y = 2 x y^{3} + b

在

(0, 1)

处相切,则

a + b =

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4. 设函数

y = y (x)

由方程

y = 1 + \arctan (x y)

所决定, 则

y^{'} (0) =

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5. 计算

\int_{0}^{1} d x \int_{x}^{\sqrt{x}} \frac{\cos y}{y} d y =

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二、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 设曲线

y = 3 a x^{2} + 2 b x + \ln c

经过

(0, 0)

点, 且当

0 ⩽ x ⩽ 1

时

y ⩾ 0

. 设该曲线与直线

x = 1, x

轴所围图形的平面图形

D

的面积为 1 . 试求常数

a, b, c

的值, 使得

D

绕

x

轴一周后, 所得旋转体的体积最小.

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7. 解方程

(x^{2} + y^{2} + 3) \frac{d y}{d x} = 2 x (2 y - \frac{x^{2}}{y})

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8. 求幂级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} x^{2 n}}{n (2 n - 1)}

的收敛域及和函数.

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9. 设

f (x)

在

[0, 1]

上可导且

f (0) > 0

f (1) > 0, \int_{0}^{1} f (x) d x = 0

. 证明:
(1)

f (x)

在

[0, 1]

上至少有两个零点;
(2) 在

(0, 1)

内至少存在一点

ξ

, 使得

f^{'} (ξ) + 3 f^{3} (ξ) = 0

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10. 设

f (x)

在

[0, 1]

上有连续的导数且

f (0) = 0

. 求证:

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x ⩽ 4 \int_{0}^{1} (1 - x)^{2} {| f^{'} (x) |}^{2} d x,

并求使上式成为等式的

f (x)

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