大连市高等数学竞赛（数学专业）试卷及参考解答

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大连市高等数学竞赛（数学专业）试卷及参考解答

一、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知空间的两条直线

l_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{2}, l_{2} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 1}{1} .

(1) 证明

l_{1}

和

l_{2}

异面.
(2) 求

l_{1}

和

l_{2}

公垂线的标准方程.
(3) 求连接

l_{1}

上的任一点和

l_{2}

上的任一点线段中点的轨迹的一般方程，并判断其形状.

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2. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上有连续的导函数且

f (a) = 0

，证明:

\int_{a}^{b} | f (x) f^{'} (x) | d x \leq \frac{b - a}{2} \int_{a}^{b} {[f^{'} (x)]}^{2} d x .

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3. 证明级数

\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{1}{3 n - 2}

条件收敛并求其和.

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4. 设

u = f (z)

，其中

z

为方程式

z = x + y φ (z)

所定义的关于变量

x

和

y

的隐函数. 试证:

\frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}} = \frac{\partial^{n - 1}}{\partial x^{n - 1}} {[φ (z)]^{n} \frac{\partial u}{\partial x}}, (n \in Z^{+}) .

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5. 设

F (r) = \int_{0}^{2 π} e^{r \cos θ} \cos (r \sin θ) d θ, r \in R

. 证明:

F (r) \equiv 2 π .

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6. 设

V_{1}, V_{2}

是数域

F

上

n

维线性空间

V

的二个子空间，且

\dim (V_{1}) + \dim (V_{2}) = \dim (V) = n .

证明: 必存在一个线性变换

σ

，使得

Im (σ) = V_{2}, Ker (σ) = V_{1} .

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7. 设

σ

是数域

K

上

n

维线性空间

V

上的线性变换. 如果

σ

的矩阵可以对角化，则对

σ

的任意一个不变子空间

M

，证明:
(1)

{σ |}_{M}

的矩阵也可以对角化.
(2) 存在

σ

的不变子空间

N

，使得

V = M \oplus N

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