单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $A=\left\{x \mid x^2-3 x < 0\right\}$, 集合 $B=\left\{x \mid \log _3(x-1) < 1\right\}$, 则 $A \cap B=$
$\text{A.}$ $\{x \mid 0 < x < 3\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 1 < x < 3\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 0 < x < 4\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 1 < x < 4\}$
已知 $(1+\mathrm{i})^2 \bar{z}=3-\mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $z=$.
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}-\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}+\frac{3}{2} \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{2}+\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{2}-\mathrm{i}$
要得到函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 x-1}$ 的图象, 只需将指数函数 $y=\left(\frac{1}{4}\right)^x$ 的图象
$\text{A.}$ 向左平移 1 个单位
$\text{B.}$ 向右平移 1 个单位
$\text{C.}$ 向左平移 $\frac{1}{2}$ 个单位
$\text{D.}$ 向右平移 $\frac{1}{2}$ 个单位
记数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则 “ $S_3=3 a_2$ " 是 “ $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列” 的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
已知直线 $l: y=k x$ 与圆 $C:(x-2)^2+(y-1)^2=1$, 则 “ $0 < k < \frac{\sqrt{3}}{3}$ ”是“直线 $l$ 与圆 $C$ 相交”的
$\text{A.}$ 充分不必要条件
$\text{B.}$ 必要不充分条件
$\text{C.}$ 充要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
将函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+1$ 的图象上的点横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标变) 得到函数 $g(x)$ 的图象, 若 存在 $\theta \in(0, \pi)$, 使得 $g(x)+g(\theta-x)=2$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 则 $\theta=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{6}$
已知 $\left(3 x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ 的展开式中所有项的系数和为 512 , 则展开式中的常数项为
$\text{A.}$ -756
$\text{B.}$ 756
$\text{C.}$ -2268
$\text{D.}$ 2268
我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解, 在不考虑空气阻力和地球引力的理 想状态下, 可以用公式 $v=v_0 \ln \frac{M}{m}$ 计算火箭的最大速度 $v(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$, 其中 $v_0(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ 是喷流相对速度, $m(\mathrm{~kg})$ 是 火箭 (除推进剂外) 的质量, $M(\mathrm{~kg})$ 是推进剂与火箭质量的总和, $\frac{M}{m}$ 称为“总质比”. 已知甲型火箭的总 质比为 400 , 经过材料更新和技术改进后, 甲型火箭的总质比变为原来的 $\frac{1}{8}$, 喷流相对速度提高了 $\frac{2}{3}$, 最 大速度增加了 $900(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$, 则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为 $(\quad)$. （参考数据: $\ln 2 \approx 0.7, \ln 5 \approx 1.6$ )
$\text{A.}$ $1200 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{B.}$ $1500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{C.}$ $1800 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
$\text{D.}$ $2100 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
在正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $M$ 为正方形 $A B B_1 A_1$ 内 (含边界) 一动点, 且满足 $\overrightarrow{A M}=\lambda \overrightarrow{A B}+(1-\lambda) \overrightarrow{A A_1}$, 则直线 $M C_1$ 与平面 $A A_1 B$ 所成角的正弦值的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}\right]$
已知圆 $O$ 的半径为 $1, A, B, C, D$ 为圆 $O$ 上四点, 且 $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|=1$, 则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C} \cdot \overrightarrow{B D}$ 的最 大值为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ $2 \sqrt{3}$
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ $4 \sqrt{3}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过抛物线 $y^2=2 p x(p>0)$ 焦点 $F$ 的射线与抛物线交于点 $A$, 与准线交于点 $B$, 若 $|A F|=2,|B F|=6$, 则 $p$ 的值为
定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=2 f(x)$, 当 $x \in(-1,0]$ 时, $f(x)=x^3$, 则 $f\left(\frac{21}{2}\right)=$
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \omega x(\omega>0)$ 的零点是以 $\frac{\pi}{2}$ 为公差的等差数列. 若 $f(x)$ 在区间 $[0, \alpha]$ 上 单调递增, 则 $\alpha$ 的取值范围为
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^2+4 x+a, x \leq 0 \\ \frac{1}{x}+a+1, x>0\end{array}\right.$, 若函数 $g(x)=f(x)-a x-1$ 在 $\mathbf{R}$ 上恰有三个不同的零点, 则 $a$ 的取 值范围是
如图, 正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 棱长为 $2, P$ 是线段 $A_1 D$ 上的一个动点, 则下列结论中正确的为
(1) $B P$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$
(2)存在 $P$ 点的某一位置, 使得 $P, A, B_1, C$ 四点共面
(3) $P A+P B$ 的最小值为 $\sqrt{6}+\sqrt{2}$
(4)以点 $B$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球面与面 $A_1 D C_1$ 的交线长为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} \pi$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在① $3 \sin A=8 \sin C$, ② $a c=49$, ③ $\sin A=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$, 这三个条件中选择一个, 补充在下面问题中, 并解答.
问题: 已知在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且满足 $a \cos C+c \cos A=7, B=\frac{\pi}{3}$ , ________ , 若三角形唯一, 求此时 $\triangle A B C$ 的周长, 若不唯一, 说明理由. 注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.
如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $\mathrm{ABCD}, A D \perp A B, A B / / D C, A D=D C=A P=2, A B=1$,
(1)证明: $B E \perp D C$;
(2)求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值;
(3)若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点, 满足 $B F \perp A C$, 求平面 $F A B$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值.
为迎接“五一小长假”的到来, 某商场开展一项促销活动, 凡在商场消费金额满 200 元的顾客可以免费抽奖一 次, 抽奖规则如下: 在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的 10 个小球, 其中, 红球 2 个, 白球 3 个, 黄 球 5 个, 顾客从箱子中依次不放回地摸出 2 个球, 根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖. 将顾客摸出的 2 个 球的颜色分成以下四种情况: $A: 1$ 个红球 1 个白球, $B: 2$ 个红球, $C: 2$ 个白球, $D$ : 至少一个黄球. 若 四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖, 二等奖, 三等奖, 不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中, 第二个球摸到为红球的概率;
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率;
(3)若三名顾客每人抽奖一次, 且彼此是否中奖相互独立. 记中奖的人数为 $X$, 求 $X$ 的分布列和期望.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 过点 $F_1$ 的直线与椭圆相交 于点 $A, B$, 且 $\triangle F_2 A B$ 的周长为 8 .
(1)求粗圆的标准方程;
(2) 椭圆 $C$ 的左, 右顶点分别为 $A_1, A_2$, 上顶点为 $D$, 若过 $A_2$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 在第一象限相 交于点 $Q$, 与直线 $A_1 D$ 相交于点 $P$, 与 $y$ 轴相交于点 $M$, 且满足 $\left|P A_2\right| \cdot|M Q|=5\left|Q A_2\right| \cdot|M P|$, 求直线 $l$ 的方 程.
已知函数 $f(x)=\frac{\sin x}{\mathrm{e}^x}$.
(1)讨论 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的单调性;
(2)若对于任意 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, 若函数 $f(x) \leq k x$ 恒成立, 求实数 $k$ 的取值范围.
集合 $A$ 中的元素个数记为 $|A|$, 若 $M \subseteq A$ 且 $|M|=2$, 则称 $M$ 为集合 $A$ 的二元子集. 已知集合 $A=\{1,2, \cdots, n\}(n \geq 3)$. 若对集合 $A$ 的任意 $m$ 个不同的二元子集 $A_1, A_2, \cdots A_m$, 均存在集合 $B$ 同时满足: (1) $B \subseteq A$ ；(2) $|B|=m$ ；(3) $|B \cap A| \mid \leq 1(1 \leq i \leq m)$, 则称集合 $A$ 具有性质 $P(m)$.
(1)当 $n=3$ 时, 若集合 $A$ 具有性质 $P(m)$, 请直接写出集合 $A$ 的所有二元子集以及 $m$ 的一个取值;
(2)当 $n=6$ 时, 判断集合 $A$ 是否具有性质 $P(4)$ ? 并说明理由;
(3)若集合 $A$ 具有性质 $P(2023)$, 求 $n$ 的最小值.