2023 年北京市高考数学模拟卷

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2023 年北京市高考数学模拟卷

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {x ∣ x^{2} - 3 x < 0}

, 集合

B = {x ∣ \log_{3} (x - 1) < 1}

, 则

A \cap B =

A.

{x ∣ 0 < x < 3}

B.

{x ∣ 1 < x < 3}

C.

{x ∣ 0 < x < 4}

D.

{x ∣ 1 < x < 4}

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2. 已知

(1 + i)^{2} \bar{z} = 3 - i

, 其中

i

为虚数单位, 则

z =

A.

- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i

B.

- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i

C.

\frac{3}{2} + i

D.

- \frac{3}{2} - i

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3. 要得到函数

y = {(\frac{1}{2})}^{2 x - 1}

的图象, 只需将指数函数

y = {(\frac{1}{4})}^{x}

的图象

A.

向左平移 1 个单位

B.

向右平移 1 个单位

C.

向左平移

\frac{1}{2}

个单位

D.

向右平移

\frac{1}{2}

个单位

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4. 记数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 则 “

S_{3} = 3 a_{2}

" 是 “

{a_{n}}

为等差数列” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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5. 已知直线

l : y = k x

与圆

C : (x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 1

, 则 “

0 < k < \frac{\sqrt{3}}{3}

”是“直线

l

与圆

C

相交”的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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6. 将函数

f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) + 1

的图象上的点横坐标变为原来的

\frac{1}{2}

(纵坐标变) 得到函数

g (x)

的图象, 若存在

θ \in (0, π)

, 使得

g (x) + g (θ - x) = 2

对任意

x \in R

恒成立, 则

θ = ()

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{2 π}{3}

D.

\frac{5 π}{6}

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7. 已知

{(3 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})

的展开式中所有项的系数和为 512 , 则展开式中的常数项为

A.

-756

B.

756

C.

-2268

D.

2268

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8. 我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解, 在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下, 可以用公式

v = v_{0} \ln \frac{M}{m}

计算火箭的最大速度

v (m / s)

, 其中

v_{0} (m / s)

是喷流相对速度,

m (kg)

是火箭 (除推进剂外) 的质量,

M (kg)

是推进剂与火箭质量的总和,

\frac{M}{m}

称为“总质比”. 已知甲型火箭的总质比为 400 , 经过材料更新和技术改进后, 甲型火箭的总质比变为原来的

\frac{1}{8}

, 喷流相对速度提高了

\frac{2}{3}

, 最大速度增加了

900 (m / s)

, 则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为

()

. （参考数据:

\ln 2 \approx 0.7, \ln 5 \approx 1.6

)

A.

1200 m / s

B.

1500 m / s

C.

1800 m / s

D.

2100 m / s

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9. 在正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

M

为正方形

A B B_{1} A_{1}

内 (含边界) 一动点, 且满足

\vec{A M} = λ \vec{A B} + (1 - λ) \vec{A A_{1}}

, 则直线

M C_{1}

与平面

A A_{1} B

所成角的正弦值的取值范围是

A.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1]

B.

[\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}]

C.

[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]

D.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]

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10. 已知圆

O

的半径为

1, A, B, C, D

为圆

O

上四点, 且

| \vec{A B} | = | \vec{C D} | = 1

, 则

\vec{A C} \cdot \vec{A D} + \vec{B C} \cdot \vec{B D}

的最大值为

A.

B.

2 \sqrt{3}

C.

D.

4 \sqrt{3}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 过抛物线

y^{2} = 2 p x (p > 0)

焦点

F

的射线与抛物线交于点

A

, 与准线交于点

B

, 若

| A F | = 2, | B F | = 6

, 则

p

的值为

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12. 定义在

R

上的函数

f (x)

满足

f (x + 1) = 2 f (x)

, 当

x \in (- 1, 0]

时,

f (x) = x^{3}

, 则

f (\frac{21}{2}) =

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13. 已知函数

f (x) = \frac{1}{2} \sin ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos ω x (ω > 0)

的零点是以

\frac{π}{2}

为公差的等差数列. 若

f (x)

在区间

[0, α]

上单调递增, 则

α

的取值范围为

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14. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 4 x + a, x \leq 0 \\ \frac{1}{x} + a + 1, x > 0 \end{cases}

, 若函数

g (x) = f (x) - a x - 1

在

R

上恰有三个不同的零点, 则

a

的取值范围是

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15. 如图, 正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

棱长为

2, P

是线段

A_{1} D

上的一个动点, 则下列结论中正确的为

(1)

B P

的最小值为

\frac{\sqrt{6}}{2}

(2)存在

P

点的某一位置, 使得

P, A, B_{1}, C

四点共面
(3)

P A + P B

的最小值为

\sqrt{6} + \sqrt{2}

(4)以点

B

为球心,

\sqrt{6}

为半径的球面与面

A_{1} D C_{1}

的交线长为

\frac{2 \sqrt{6}}{3} π

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 在①

3 \sin A = 8 \sin C

, ②

a c = 49

, ③

\sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{7}

, 这三个条件中选择一个, 补充在下面问题中, 并解答.

问题: 已知在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 且满足

a \cos C + c \cos A = 7, B = \frac{π}{3}

, ________ , 若三角形唯一, 求此时

△ A B C

的周长, 若不唯一, 说明理由. 注: 如果选择多个条件分别解答, 按第一个解答计分.

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17. 如图, 在四棱雉

P - A B C D

中,

P A ⊥

底面

ABCD, A D ⊥ A B, A B / / D C, A D = D C = A P = 2, A B = 1

,
(1)证明:

B E ⊥ D C

;
(2)求直线

B E

与平面

P B D

所成角的正弦值;
(3)若

F

为棱

P C

上一点, 满足

B F ⊥ A C

, 求平面

F A B

与平面

P A B

所成角的余弦值.

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18. 为迎接“五一小长假”的到来, 某商场开展一项促销活动, 凡在商场消费金额满 200 元的顾客可以免费抽奖一次, 抽奖规则如下: 在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的 10 个小球, 其中, 红球 2 个, 白球 3 个, 黄球 5 个, 顾客从箱子中依次不放回地摸出 2 个球, 根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖. 将顾客摸出的 2 个球的颜色分成以下四种情况:

A : 1

个红球 1 个白球,

B : 2

个红球,

C : 2

个白球,

D

: 至少一个黄球. 若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖, 二等奖, 三等奖, 不中奖.
(1)求顾客在某次抽奖中, 第二个球摸到为红球的概率;
(2)求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率;
(3)若三名顾客每人抽奖一次, 且彼此是否中奖相互独立. 记中奖的人数为

X

, 求

X

的分布列和期望.

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19. 已知椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的离心率为

\frac{\sqrt{3}}{2}

, 左, 右焦点分别为

F_{1}, F_{2}

, 过点

F_{1}

的直线与椭圆相交于点

A, B

, 且

△ F_{2} A B

的周长为 8 .
(1)求粗圆的标准方程;
(2) 椭圆

C

的左, 右顶点分别为

A_{1}, A_{2}

, 上顶点为

D

, 若过

A_{2}

且斜率为

k

的直线

l

与椭圆

C

在第一象限相交于点

Q

, 与直线

A_{1} D

相交于点

P

, 与

y

轴相交于点

M

, 且满足

| P A_{2} | \cdot | M Q | = 5 | Q A_{2} | \cdot | M P |

, 求直线

l

的方程.

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20. 已知函数

f (x) = \frac{\sin x}{e^{x}}

.
(1)讨论

f (x)

在

[0, π]

上的单调性;
(2)若对于任意

x \in [0, \frac{π}{2}]

, 若函数

f (x) \leq k x

恒成立, 求实数

k

的取值范围.

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21. 集合

A

中的元素个数记为

| A |

, 若

M \subseteq A

且

| M | = 2

, 则称

M

为集合

A

的二元子集. 已知集合

A = {1, 2, \dots, n} (n \geq 3)

. 若对集合

A

的任意

m

个不同的二元子集

A_{1}, A_{2}, \dots A_{m}

, 均存在集合

B

同时满足: (1)

B \subseteq A

；(2)

| B | = m

；(3)

| B \cap A | ∣\leq 1 (1 \leq i \leq m)

, 则称集合

A

具有性质

P (m)

.
(1)当

n = 3

时, 若集合

A

具有性质

P (m)

, 请直接写出集合

A

的所有二元子集以及

m

的一个取值;
(2)当

n = 6

时, 判断集合

A

是否具有性质

P (4)

? 并说明理由;
(3)若集合

A

具有性质

P (2023)

, 求

n

的最小值.

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