单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知集合 $P=\{1,2\}, Q=\{2,3\}$, 若 $M=\{x \mid x \in P 且 x \notin Q\}$, 则 $M=$
$\text{A.}$ $\{1\}$
$\text{B.}$ $\{2\}$
$\text{C.}$ $\{1,2\} $
$\text{D.}$ $\{1,2,3\}$
如图, 是某校随机抽取 50 名学生的身高与体重的 散点图, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ 身高越高, 体重越重;
$\text{B.}$ 身高越高, 体重越轻;
$\text{C.}$ 身高与体重成正相关；
$\text{D.}$ 身高与体重成负相关.
设 $a>0$, 函数 $y=\sin x$ 在 $[a, 2 a]$ 上的最小值为 $s_a$, 在 $[2 a, 3 a]$ 上的最小值为 $t_a$, 当 $a$ 变化时, 则下列选 项不可能的是
$\text{A.}$ $s_a>0, t_a>0$
$\text{B.}$ $s_a < 0, t_a < 0$
$\text{C.}$ $s_a>0, t_a < 0$
$\text{D.}$ $s_a < 0, t_a>0$
在平面上, 若曲线 $\Gamma$ 具有如下性质: 存在点 $M$, 使得对于任意点 $P \in \Gamma$, 都有 $Q \in \Gamma$ 使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$,
则称这条曲线为 “自相关曲线” . 关于以下两个结论, 正确的判断是 ( )
(1) 所有椭圆都为 “自相关曲线” ; (2)存在双曲线是 “自相关曲线” .
$\text{A.}$ (1)成立, (2)成立;
$\text{B.}$ (1)成立, (2)不成立;
$\text{C.}$ (1)不成立, (2)成立;
$\text{D.}$ (1)不成立, (2)不成立.
填空题 （共 17 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\vec{a}=(-2,3), \vec{b}=(1,2)$, 则 $\dot{a} \cdot \vec{b}=$
已知 $S_n$ 为等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $a_1=3, q=2$, 则 $S_6=$
已知 $\tan \alpha=3$, 则 $\tan 2 \alpha=$
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2^x, & x>0 \\ 1, & x \leq 0\end{array}\right.$, 则 $f(x)$ 的值域为
已知复数 $z=1+i$ (其中 $i$ 为虚数单位), 则 $|1-i z|=$
已知圆 $x^2+y^2-4 y-m=0$ 的面积为 $\pi$, 则 $m=$
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的三边长分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $a=4, b=5, c=6$, 则 $\sin A=$
国内生产总值 (GDP) 是衡軍地区经济状况的最佳指标, 根据统计数据显示, 某市在 2020 年间经济高厉 量增长, $G D P$ 稳步增长, 第一季度和第四季度的 $G D P$ 分别为 231 亿元和 242 亿元, 且四个季度 $G D P$ 的 中位数与平均数相等, 则该市 2020 年 $G D P$ 总额为 亿元.
已知 $(1+2023 x)^{100}+(2023-x)^{100}=a_0+a_1 x+a_2 x^2+\cdots+a_{100} x^{100}$, 其中 $a_0, a_1, a_2, \cdots, a_{100} \in R$. 若 $k \in$ $[0,100]$ 且 $k \in N$, 则当 $a_k < 0$ 时, $k$ 的最大值为
某公园欲修建一段斜坡, 假设斜坡底端在水平地面上且坡面笔直, 斜坡顶端距水平地面的高度为 4 米, 斜 坡与水平地面的夹角为 $\theta$. 已知游客从坡底沿着斜坡每向上走 1 米, 消耗的体力为 $(1.025-\cos \theta)$, 若要 使游客从斜坡底端走到斜坡顶端所消耗的体力最少, 则 $\theta=$
已知空间中存在三点 $A 、 B 、 C$, 且 $A B=A C=B C=1$. 若从空间中再任取不同的两点 (不计顺序), 使得这两点与 $A 、 B 、 C$ 三点恰好能构成一个正四棱雉, 则不同的取法共有 种.
如图, 在直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中, $A B / / D C, A B \perp A D, A B=2, A D=3, D C=4$.
(1) 求证: 直线 $A_1 B / /$ 平面 $D C C_1 D_1$;
(2) 若直四棱柱 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的体积为 36 , 求二面角 $A_1-B D-A$ 的大小.
已知函数 $f(x)=\frac{x^2+(3 a+1) x+c}{x+a}$, 其中 $a, c \in R$.
(1) 当 $a=0$ 时, 求 $f(x)$ 的定义域, 并判断是否存在实数 $c$, 使得 $f(x)$ 是奇函数;
(2) 若函数 $f(x)$ 的图像过点 $(1,3)$, 且与 $x$ 轴的负半轴有两个交点, 求实数 $c$ 的值和实数 $a$ 的取值范围.
第二十届上海国际汽车工业展览会丁 2023 年 4 月 18 日在上海国家会展中心举行. 某汽车企业准备了 25 个汽车模型, 其外观和内饰的颜色分布如下表所示:
(1) 若小明从这些模型中随机拿一个模型, 记事件 $A$ 为小明取到的横型为红色外观, 事件 $B$ 为小明取到 的模型有米色内饰. 求 $P(B)$ 与 $P(B \mid A)$, 并据此判断事件 $A$ 和事件 $B$ 足否独立;
(2) 为了回馈客户, 该汽车企业举行了一个抽奖活动, 规定在一次抽奖中, 每人可以一次性抽取两个汽 车横型, 根据活动规则, 现作出如下假设:
该公司举行了一个扔奖活动, 并规定在一次排奖中, 每人可以一次性从这 25 个汽车模型中排取两 个, 现有如下假设:
假设 1: 抽取所得的两个模型会出现三种结果, 即外观和内饰均为同色、外观和内饰均为异色、只 有外观或只有内饰同色:
假设 2: 根据三种结果的可能性大小, 概率越小的结果可获得的奖项越高;
假设 3: 奖金额为一等奖 600 元, 二等奖 300 元, 三等奖 150 元.
请你帮该汽车企业分析假设 1 中的三种结果分别对应什么奖项, 设奖金额为 $X$ 元, 与出 $X$ 的分布列, 并 求出 $X$ 的数学期望.
已知抛物线 $\Gamma: y^2=4 x, A$ 为第一象限内曲线 $\Gamma$ 上的点, 设 $A$ 的纵坐标是 $a$.
(1) 若点 $A$ 到抛物线 $\Gamma$ 的准线距离为 3 , 求 $a$ 的值;
(2) 若 $a=4$, 点 $B$ 在 $x$ 轴上, 且 $A B$ 的中点在抛物线 $\Gamma$ 上, 求点 $B$ 的坐标和坐标原点 $O$ 到直线 $A B$ 的 距离;
(3) 已知直线 $l: x=-3, P$ 是第一象限内曲线 $\Gamma$ 上吕于点 $A$ 的点, 直线 $P A$ 交 $l$ 于点 $Q$, 且 $P$ 在直线 $l$ 上的投影为点 $H$. 若对于任意点 $P,|H Q|>4$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\ln x$. 过点 $\left(a_1, f\left(a_1\right)\right)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线交 $y$ 轴于点 $\left(0, a_2\right)$, 再过点 $\left(a_2, f\left(a_2\right)\right)$ 作曲线 $y=f(x)$ 的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_3\right)$, 若 $a_3 < 0$ 则停止. 以此类推, 得到数列 $\left\{a_n\right\}$.
(1) 若正整数 $m \geq 2$, 证明: $a_m=\ln a_{m-1}-1$;
(2) 若正整数 $m \geq 2$, 试比较 $a_m$ 与 $a_{m-1}-2$ 大小;
(3) 若正整数 $k \geq 3$, 是否存在 $k$ 使得 $a_1, a_2, \cdots, a_k$ 依次成等差数列? 若存在, 求出 $k$ 的所有取值; 若不 存在, 请说明理由.