2023年普通高等学校《线性代数C》期末考试模拟试卷

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2023年普通高等学校《线性代数C》期末考试模拟试卷

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 关于矩阵的乘法下列描述错误的是

A.

满足交换律

B.

不满足消去律

C.

满足结合律

D.

满足分配律

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2. 设

A, B

都是

n

阶可逆矩阵且满足

A X B = C

, 则

X =

A.

A^{- 1} B^{- 1} C

B.

A^{- 1} C B^{- 1}

C.

B^{- 1} C A^{- 1}

D.

C A^{- 1} B^{- 1}

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3. 设

r (A)

和

r (B)

分别表示某

n

元非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩, 该方程组有解当且仅当

A.

r (A) < n

B.

r (A) > r (B)

C.

r (A) < r (B)

D.

r (A) = r (B)

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n

阶方阵

A

可逆的充分必要条件是

A.

任一行向量都是非零向量

B.

任一列向量都是非零向量

C.

线性方程组

A x = b

有解

D.

当

x \neq 0

时,

A x \neq 0

, 其中

x = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})}^{T}

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5. 下列各项中为某三阶行列式中带有正号的项是

A.

a_{11} a_{23} a_{32}

B.

a_{12} a_{31} a_{23}

C.

a_{13} a_{22} a_{31}

D.

a_{23} a_{12} a_{32}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设矩阵

A = [\begin{array}{ll} k & 1 \\ 1 & k \end{array}]

的秩为 1 , 则

k =

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7. 给定

| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 0 & 1 \end{array} |

, 则余子式

M_{23} =

, 代数余子式

A_{21} =

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8. 设

A

为三阶方阵,

B

为四阶方阵,

| A | = 3, | B | = - 2

, 则

| 2 A | =, | | B | A | =

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9. 设

A = [\begin{array}{cc} 1 & - 2 \\ 0 & 1 \end{array}]

, 则

A^{2} =

________ ,

A^{100} =

________

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10. 设

A = [\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 3 & a \end{array}]

不可逆, 则

a =

________

A^{*} =

________

如A可逆，则

A^{- 1}

= ________

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三、解答题（共 5 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 给定矩阵

A = [\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ - 3 & - 2 & 1 \end{array}]

, 计算
(1)

| A |

(2)

A^{- 1}

(3)

A A^{T}

(4) 设有矩阵方程

A X = 2 X + A

, 求

X

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12. 设向量组

α_{1} = (1, 2, 1, 3)^{T}, α_{2} = (4, - 1, - 5, - 6)^{T}, α_{3} = (1, - 3, - 4, - 7)^{T}, α_{4} =

(2, 1, - 1, 0)^{T}

. 求该向量组的秩和极大无关组, 并把其余列向量用极大无关组线性表示.

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13. 设有线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0 \\ 3 x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = - 1 \\ - x_{1} + 4 x_{2} + a x_{3} = b \end{cases}

, 问

a, b

为何值时方程组有无穷多解? 并用基础解系表示该通解.

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14. 求矩阵

A = [\begin{array}{ccc} - 2 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ - 4 & 2 & 3 \end{array}]

的最大特征值及其对应的特征向量.

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15. 设向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关, 证明

α_{1} + 2 α_{2}, 2 α_{2} + 3 α_{3}, 3 α_{3} + α_{1}

也线性无关.

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