单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
方程组 $x+y+z=4, x^2+y^2+z^2=6, x^3+y^3+z^3=10$ 的解的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 其它三个选项均不对
已知直线 $l$ 与双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(b>a>0)$ 两支分别交于点P, $\mathrm{Q}$ 两点, $\mathrm{O}$ 为原点. 若 $O P \perp O Q$, 则 $O$ 到直线 $l$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{a b}{b-a}$
$\text{B.}$ $\frac{2 a b}{b-a}$
$\text{C.}$ $\frac{a b}{\sqrt{b^2-a^2}}$
$\text{D.}$ 其它三个选项均不对
以一个给定的正 2022 边形的 4 个顶点为顶点的梯形称为好梯形，则好梯形的个数为
$\text{A.}$ $1009 \cdot 1010 \cdot 1011$
$\text{B.}$ $1008 \cdot 1009.1010$
$\text{C.}$ $1000 \cdot 1011 \cdot 1012$
$\text{D.}$ 其它三个选项均不对
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 求函数 $y=\sin ^2 x \cos x$ 的最大值为
函数 $f(x)=(x+1) \ln (x+1)$ 的单调递增区间是
边长为 1 正六面体被一个平面所截的最大截面面积为
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
复数 $z$ 满足 $z^{2023}-z-1=0$ ，求证： $|z| \leqslant 1$ 当且仅当 $ \Re(z) \leqslant-\frac{1}{2}$.
甲，乙两盒中各放 2 只兔子，一雌一雄。称一次操作是从甲，乙盒中各随机抽一只兔子交换，记 $n$ 次操作后甲，乙盒中仍有一雌一雄的概率为 $p_n$. 求 $p_n$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} p_n$.
将正整数去除完全平方数后由小到大排成一排，记作 $a_1 ， a_2 ， \cdots$. 比如 $a_1=2 ， a_2=3 ， a_3=5$ ， . 求证: 对任意正整数 $n$ ，都有 $\left|a_n-n-\sqrt{n}\right| < \frac{1}{2}$.
已知 $n$ 个整数使 $x_1^3 x_1^3+x_2^3+\cdots+x_n^3=2008$, 求 $n$ 的最小值.
从等差数列 $2 ， 5 ， 8 ， 11 ， \ldots$, 中抽取 $k$ 个数，使它们的倒数之和为 1 ，求 $k$ 的最小值.