单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知复数 $z=\frac{1-\mathrm{i}}{\mathrm{i}}$, 则 $z$ 的虚部为
$\text{A.}$ $-\mathrm{i}$
$\text{B.}$ $\mathrm{i}$
$\text{C.}$ $-1$
$\text{D.}$ $1$
已知 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内的点, 满足 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P B}=\overrightarrow{P B} \cdot \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P C} \cdot \overrightarrow{P A}$, 则 $P$ 是 $\triangle A B C$ 的
$\text{A.}$ 重心
$\text{B.}$ 垂心
$\text{C.}$ 内心
$\text{D.}$ 外心
已知复数 $z$ 满足 $|z+2| \leqslant \sqrt{2}$, 则 $|z-2 \mathrm{i}|$ 的最小值为
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ $3 \sqrt{2}$
$\text{D.}$ $4 \sqrt{2}$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=\cos \theta+\mathrm{i} \sin \theta(\mathrm{e}=2.71828 \cdots)$ 是由 18 世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧 拉发现的, 被誉为数学上优美的公式. 已知 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$, 则 $\cos \theta=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
在如图所示的半圆中, $A B$ 为直径, $O$ 为圆心, 点 $C$ 为半圆上一点且 $\angle O C B=15^{\circ},|\overrightarrow{A B}|=2 \sqrt{2}$, 则 $|\overrightarrow{A C}|$ 等于
$\text{A.}$ $4+2 \sqrt{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{3}+1$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}-1$
$\text{D.}$ $4-2 \sqrt{3}$
在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{b \cdot \cos C}{c \cdot \cos B}=\frac{1-\cos 2 B}{1-\cos 2 C}$, 则 $\triangle A B C$ 的形状为
$\text{A.}$ 等腰三角形
$\text{B.}$ 直角三角形
$\text{C.}$ 等腰直角三角形
$\text{D.}$ 等腰三角形或直角三角形
点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点且满足 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}$, 则下列说法正确的个数有
(1)若 $x=y=\frac{1}{2}$, 则点 $P$ 是边 $B C$ 的中点
(2)若点 $P$ 是 $B C$ 边上靠近 $B$ 点的三等分点, 则 $x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$
(3)若点 $P$ 在 $B C$ 边的中线上且 $x+y=\frac{1}{2}$, 则点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 的重心
(4)若 $x+y=2$, 则 $\triangle P B C$ 与 $\triangle A B C$ 的面积相等
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
在 $\triangle A B C$ 中, $B=\frac{\pi}{3}, B C$ 边上的高等于 $\frac{\sqrt{3}}{6} B C$, 则 $\cos A$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{7}}{28}$
$\text{B.}$ $-\frac{\sqrt{7}}{14}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{7}}{14}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{7}}{7}$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
若关于 $x$ 的方程 $x^2+a x+b=0$ 的一个根是 $1-2 \mathrm{i}$, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ $a=-2$
$\text{B.}$ $b=-5$
$\text{C.}$ $a+b \mathrm{i}$ 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限
$\text{D.}$ $a+b \mathrm{i}, a \mathrm{i}+b$ 在复平面内对应的两点间的距离为 $7 \sqrt{2}$
下列命题正确的是
$\text{A.}$ 非零向量 $\overrightarrow{e_1}$ 和 $\overrightarrow{e_2}$ 不共线, 若 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{e_1}-\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{C D}=3 \overrightarrow{e_1}-6 \overrightarrow{e_2}$, 则 $B 、 C 、 D$ 三 点共线
$\text{B.}$ 已知 $\overrightarrow{e_1}$ 和 $\overrightarrow{e_2}$ 是两个夹角为 $60^{\circ}$ 的单位向量, $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+2 \overrightarrow{e_2}, \vec{b}=k \overrightarrow{e_1}-4 \overrightarrow{e_2}$ 且 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则实数 $k=5$
$\text{C.}$ 若四边形 $A B C D$ 满足 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{0},(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}) \cdot \overrightarrow{A C}=0$, 则该四边形一定是矩形
$\text{D.}$ 点 $O$ 在 $\triangle A B C$ 所在的平面内, 动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})$, 则动点 $P$ 的运动路径 经过 $\triangle A B C$ 的重心
在 $\triangle A B C$ 中, $B=\frac{\pi}{3}, b=2 \sqrt{3}, c=3$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $C$ 有两解
$\text{B.}$ $B C$ 边上的高为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
$\text{C.}$ $B C$ 的长度为 $\frac{\sqrt{21}+3}{2}$
$\text{D.}$ $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{21} \pm 9}{4}$
已知函数 $f(x)=(\sin x-\cos x)(\sin x+|\cos x|)$, 则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f(x)$ 在区间 $\left[-2 \pi,-\frac{3}{2} \pi\right]$ 上单调递增
$\text{B.}$ $f(x)$ 的对称轴是 $x=\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in \mathbf{Z})$
$\text{C.}$ 方程 $f(x)-\frac{3}{2}=0$ 在 $x \in[-2 \pi, 2 \pi]$ 的解为 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 且 $x_1+x_2+\cdots+x_n=-\pi$
$\text{D.}$ 若 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=3$, 则 $\left|x_1-x_2\right|_{\text {min }}=\frac{3 \pi}{4}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
下列给出的几个关于复数的命题:
(1)若 $\left(x^2-4\right)+\left(x^2+3 x+2\right) \mathrm{i}$ 是纯虚数, 则实数 $x= \pm 2$
(2)复数 $\left(a^2+1\right) \mathrm{i}(a \in \mathbf{R})$ 是纯虚数
(3)复数 $z=-\sin 100^{\circ}+\mathrm{i} \cos 100^{\circ}$ 在复平面内对应的点 $z$ 位于第三象限
(4)若复数 $z$ 满足 $|z+\mathrm{i}|+|z-\mathrm{i}|=2$, 则 $|z-2 \mathrm{i}-1|$ 的最小值是 2
正确命题的序号是
已知 $a>0, f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-a \sin x$ 的最大值为 $\sqrt{3}$, 则 $a=$
$\triangle A B C$ 是针角三角形, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, a=2, b=4$, 则最大边 $c$ 的取值范围为
根据毕达哥拉斯定理, 以直角三角形的三条边为边长作正方形, 从 斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形 的面积之和. 现对直角 $\triangle C D E$ 按上述操作作图后, 得如图所示的图 形, 若 $\overrightarrow{A F}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A D}$, 则 $x-y=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知复数 $z_1=2-m^2+(2 m-1) \mathrm{i}, z_2=\lambda+\sin \theta-(1-2 \cos \theta) \mathrm{i}$ (其中 $\mathrm{i}$ 是虚数单位, $\left.m, \lambda \in R\right)$.
(1)若 $z_1$ 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上, 求实数 $m$ 的值;
(2)若 $z_1=z_2$, 求实数 $\lambda$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)+2 \cos ^2\left(\frac{\omega x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)-1,(\omega>0)$ 图象的相邻两对称轴间的距离为 $\frac{\pi}{2}$.
(1)求 $f(x)$ 的解析式;
(2) 将函数 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来 的 $\frac{1}{2}$ (纵坐标不变), 得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 求 $g(x)$ 的单调递减区间.
设 $z_1$ 是虚数, $z_2=z_1+\frac{1}{z_1}$ 是实数且 $-\frac{1}{2} \leqslant z_2 \leqslant \frac{1}{2}$.
(1)求 $\left|z_1\right|$ 的值以及 $z_1$ 实部的取值范围;
(2)若 $\omega=\frac{1-\bar{z}_1}{1+\bar{z}_1}$, 求证: $\omega$ 为纯虚数.
如图, 一个直径为 $5 \mathrm{~m}$ 的水车按逆时针方向每分钟转 1.8 圈, 水车的中心 $O$ 距离水面的高度 为 $1.25 \mathrm{~m}$, 水车上的盛水筒 $P$ 到水面的距离为 $h$ (单位: $m$ )(在水面下则 $h$ 为负数), 若以盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计时, 则 $h$ 与时间 $t$ (单位: $s$ )
之间的关系为 $h=A \sin (\omega t+\varphi)+b\left(A>0, \omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right)$
(1)求 $h$ 与 $t$ 的函数解析式;
(2)求在一个旋转周期内, 盛水筒 $P$ 在水面以上的时长.
在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 满足 $b \sin B+c \sin C=\sin A \cdot(a-2 b \sin C)$.
(1)求角 $A$ 的余弦值;
(2) 若 $D$ 是边 $A B$ 的中点且 $C D=2$, 求 $b+\sqrt{2} c$ 的取值范围.
设正 $\triangle A B C$ 的边长为 $1, O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, $P_1, P_2, \cdots, P_n$ 为 $B C$ 边上的 $n+1$ 等分点, $Q_1, Q_2, \cdots, Q_n$ 为 $A C$ 边上的 $n+1$ 等分点, $L_1, L_2, \cdots, L_n$ 为 $A B$ 边上的 $n+1$ 等分点.
(1)当 $n=2023$ 时, 求 $\left|\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O P_1}+\overrightarrow{O P_2}+\cdots+\overrightarrow{O P_{2023}}+\overrightarrow{O B}\right|$ 的值;
(2)当 $n=4$ 时；
(i)求 $\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C P_i}+\overrightarrow{O C} \cdot \overrightarrow{C Q_j}$ 的值(用 $i, j$ 表示);
(ii)求 $\overrightarrow{O P_i} \cdot \overrightarrow{O Q_j}+\overrightarrow{O Q_j} \cdot \overrightarrow{O L_k}+\overrightarrow{O L_k} \cdot \overrightarrow{O P_i}(1 \leq i, j, k \leq 4, i, j, k \in N)$ 的最大值与最小值.
