一、单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
1. 已知复数 , 则 的虚部为
2. 已知 是 所在平面内的点, 满足 , 则 是 的
重心
垂心
内心
外心
3. 已知复数 满足 , 则 的最小值为
4. 欧拉公式 是由 18 世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧 拉发现的, 被誉为数学上优美的公式. 已知 , 则
5. 在如图所示的半圆中,
为直径,
为圆心, 点
为半圆上一点且
, 则
等于
6. 在 中, 若 , 则 的形状为
等腰三角形
直角三角形
等腰直角三角形
等腰三角形或直角三角形
7. 点 是 所在平面内一点且满足 , 则下列说法正确的个数有
(1)若 , 则点 是边 的中点
(2)若点 是 边上靠近 点的三等分点, 则
(3)若点 在 边的中线上且 , 则点 是 的重心
(4)若 , 则 与 的面积相等
1个
2个
3个
4个
8. 在 中, 边上的高等于 , 则 的值为
二、多选题 (共 4 题 ),每题有多个选项正确
9. 若关于 的方程 的一个根是 , 则下列说法中正确的是
的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限
在复平面内对应的两点间的距离为
10. 下列命题正确的是
非零向量 和 不共线, 若 , 则 、、 三 点共线
已知 和 是两个夹角为 的单位向量, 且 , 则实数
若四边形 满足 , 则该四边形一定是矩形
点 在 所在的平面内, 动点 满足 , 则动点 的运动路径 经过 的重心
11. 在 中, , 则下列说法正确的是
有两解
边上的高为
的长度为
的面积为
12. 已知函数 , 则下列说法正确的是
在区间 上单调递增
的对称轴是
方程 在 的解为 , 且
若 , 则
三、填空题 (共 4 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
13. 下列给出的几个关于复数的命题:
(1)若 是纯虚数, 则实数
(2)复数 是纯虚数
(3)复数 在复平面内对应的点 位于第三象限
(4)若复数 满足 , 则 的最小值是 2
正确命题的序号是
14. 已知 的最大值为 , 则
15. 是针角三角形, 内角 所对的边分别为 , 则最大边 的取值范围为
16. 根据毕达哥拉斯定理, 以直角三角形的三条边为边长作正方形, 从 斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形 的面积之和. 现对直角
按上述操作作图后, 得如图所示的图 形, 若
, 则
四、解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知复数 (其中 是虚数单位, .
(1)若 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上, 求实数 的值;
(2)若 , 求实数 的取值范围.
18. 已知函数 图象的相邻两对称轴间的距离为 .
(1)求 的解析式;
(2) 将函数 的图象向左平移 个单位长度, 再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来 的 (纵坐标不变), 得到函数 的图象, 求 的单调递减区间.
19. 设 是虚数, 是实数且 .
(1)求 的值以及 实部的取值范围;
(2)若 , 求证: 为纯虚数.
20. 如图, 一个直径为
的水车按逆时针方向每分钟转 1.8 圈, 水车的中心
距离水面的高度 为
, 水车上的盛水筒
到水面的距离为
(单位:
)(在水面下则
为负数), 若以盛水筒
刚浮出水面时开始计时, 则
与时间
(单位:
)
之间的关系为
(1)求
与
的函数解析式;
(2)求在一个旋转周期内, 盛水筒
在水面以上的时长.
21. 在 中, 角 的对边分别是 , 满足 .
(1)求角 的余弦值;
(2) 若 是边 的中点且 , 求 的取值范围.
22. 设正
的边长为
为
的外心,
为
边上的
等分点,
为
边上的
等分点,
为
边上的
等分点.
(1)当
时, 求
的值;
(2)当
时;
(i)求
的值(用
表示);
(ii)求
的最大值与最小值.