江苏省苏州市2022-2023学年度第二学期高一期中调研试题



一、单选题 (共 8 题 ),每题只有一个选项正确
1. 已知复数 z=1ii, 则 z 的虚部为
A. i B. i C. 1 D. 1

2. 已知 PABC 所在平面内的点, 满足 PAPB=PBPC=PCPA, 则 PABC
A. 重心 B. 垂心 C. 内心 D. 外心

3. 已知复数 z 满足 |z+2|2, 则 |z2i| 的最小值为
A. 2 B. 22 C. 32 D. 42

4. 欧拉公式 eiθ=cosθ+isinθ(e=2.71828) 是由 18 世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德・欧 拉发现的, 被誉为数学上优美的公式. 已知 ei(θπ6)=12+32i, 则 cosθ=
A. 32 B. 12 C. 12 D. 32

5. 在如图所示的半圆中, AB 为直径, O 为圆心, 点 C 为半圆上一点且 OCB=15,|AB|=22, 则 |AC| 等于
A. 4+23 B. 3+1 C. 31 D. 423

6.ABC 中, 若 bcosCccosB=1cos2B1cos2C, 则 ABC 的形状为
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

7.PABC 所在平面内一点且满足 AP=xAB+yAC, 则下列说法正确的个数有
(1)若 x=y=12, 则点 P 是边 BC 的中点
(2)若点 PBC 边上靠近 B 点的三等分点, 则 x=13,y=23
(3)若点 PBC 边的中线上且 x+y=12, 则点 PABC 的重心
(4)若 x+y=2, 则 PBCABC 的面积相等
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

8.ABC 中, B=π3,BC 边上的高等于 36BC, 则 cosA 的值为
A. 728 B. 714 C. 714 D. 77

二、多选题 (共 4 题 ),每题有多个选项正确
9. 若关于 x 的方程 x2+ax+b=0 的一个根是 12i, 则下列说法中正确的是
A. a=2 B. b=5 C. a+bi 的共轭复数在复平面内对应的点在第二象限 D. a+bi,ai+b 在复平面内对应的两点间的距离为 72

10. 下列命题正确的是
A. 非零向量 e1e2 不共线, 若 AB=e1e2,AC=2e1+e2,CD=3e16e2, 则 BCD 三 点共线 B. 已知 e1e2 是两个夹角为 60 的单位向量, a=e1+2e2,b=ke14e2ab, 则实数 k=5 C. 若四边形 ABCD 满足 AB+CD=0,(ABAD)AC=0, 则该四边形一定是矩形 D.OABC 所在的平面内, 动点 P 满足 OP=OA+λ(AB+AC), 则动点 P 的运动路径 经过 ABC 的重心

11.ABC 中, B=π3,b=23,c=3, 则下列说法正确的是
A. C 有两解 B. BC 边上的高为 332 C. BC 的长度为 21+32 D. ABC 的面积为 321±94

12. 已知函数 f(x)=(sinxcosx)(sinx+|cosx|), 则下列说法正确的是
A. f(x) 在区间 [2π,32π] 上单调递增 B. f(x) 的对称轴是 x=π4+kπ(kZ) C. 方程 f(x)32=0x[2π,2π] 的解为 x1,x2,,xn, 且 x1+x2++xn=π D.f(x1)f(x2)=3, 则 |x1x2|min =3π4

三、填空题 (共 4 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
13. 下列给出的几个关于复数的命题:
(1)若 (x24)+(x2+3x+2)i 是纯虚数, 则实数 x=±2
(2)复数 (a2+1)i(aR) 是纯虚数
(3)复数 z=sin100+icos100 在复平面内对应的点 z 位于第三象限
(4)若复数 z 满足 |z+i|+|zi|=2, 则 |z2i1| 的最小值是 2
正确命题的序号是

14. 已知 a>0,f(x)=sin(xπ3)asinx 的最大值为 3, 则 a=

15. ABC 是针角三角形, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a=2,b=4, 则最大边 c 的取值范围为

16. 根据毕达哥拉斯定理, 以直角三角形的三条边为边长作正方形, 从 斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形 的面积之和. 现对直角 CDE 按上述操作作图后, 得如图所示的图 形, 若 AF=xAB+yAD, 则 xy=

四、解答题 (共 6 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知复数 z1=2m2+(2m1)i,z2=λ+sinθ(12cosθ)i (其中 i 是虚数单位, m,λR).
(1)若 z1 在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上, 求实数 m 的值;
(2)若 z1=z2, 求实数 λ 的取值范围.

18. 已知函数 f(x)=3sin(ωx+π6)+2cos2(ωx2+π12)1,(ω>0) 图象的相邻两对称轴间的距离为 π2.
(1)求 f(x) 的解析式;
(2) 将函数 f(x) 的图象向左平移 π6 个单位长度, 再把所得图象上各点的横坐标缩小为原来 的 12 (纵坐标不变), 得到函数 y=g(x) 的图象, 求 g(x) 的单调递减区间.

19.z1 是虚数, z2=z1+1z1 是实数且 12z212.
(1)求 |z1| 的值以及 z1 实部的取值范围;
(2)若 ω=1z¯11+z¯1, 求证: ω 为纯虚数.

20. 如图, 一个直径为 5 m 的水车按逆时针方向每分钟转 1.8 圈, 水车的中心 O 距离水面的高度 为 1.25 m, 水车上的盛水筒 P 到水面的距离为 h (单位: m )(在水面下则 h 为负数), 若以盛水筒 P 刚浮出水面时开始计时, 则 h 与时间 t (单位: s )
之间的关系为 h=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)
(1)求 ht 的函数解析式;
(2)求在一个旋转周期内, 盛水筒 P 在水面以上的时长.

21.ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 满足 bsinB+csinC=sinA(a2bsinC).
(1)求角 A 的余弦值;
(2) 若 D 是边 AB 的中点且 CD=2, 求 b+2c 的取值范围.

22. 设正 ABC 的边长为 1,OABC 的外心, P1,P2,,PnBC 边上的 n+1 等分点, Q1,Q2,,QnAC 边上的 n+1 等分点, L1,L2,,LnAB 边上的 n+1 等分点.
(1)当 n=2023 时, 求 |OC+OP1+OP2++OP2023+OB| 的值;
(2)当 n=4 时;
(i)求 OCCPi+OCCQj 的值(用 i,j 表示);
(ii)求 OPiOQj+OQjOLk+OLkOPi(1i,j,k4,i,j,kN) 的最大值与最小值.

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