初中生数学竞赛精选-有理数与整式

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初中生数学竞赛精选-有理数与整式

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 若

x - y = 2 x^{2} + y^{2} = 4

, 则

x^{1992} + y^{1992}

的值是 (“希望杯”全国初中数学邀请赛初一试题)

A.

4

B.

1992^{2}

C.

2^{1992}

D.

4^{1992}

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2. 计算

(2^{1} + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) (2^{16} + 1) (2^{32} + 1)

(2^{64} + 1)

的结果是 (“汉江杯”初中数学竞赛题)

A.

2^{32} - 1

B.

2^{64} - 1

C.

2^{128} - 1

D.

2^{64}

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3. 满足

| x - 2 | + | x + 1 | = 3

的

x

的个数为

A.

B.

C.

D.

多于2个

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4. 如果对于某一特定范围内的

x

的任一允许值

P = | 1 - 2 x | +

| 1 - 3 x | + | 1 - 4 x | + \dots + | 1 - 9 x | + | 1 - 10 x |

为定值, 则定值为（合肥初一数学竞赛）

A.

B.

C.

D.

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5. 若正数

a 、 b 、 c

, 满足等式

a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 a b c = 0

, 那么

A.

a = b = c

B.

a = b \neq c

C.

b = c \neq a

D.

a 、 b 、 c

两两不等

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6. 在五个数

{(\frac{3}{2})}^{2} 、 {(\frac{7}{5})}^{2} 、 {(\frac{17}{12})}^{2} 、 {(\frac{41}{29})}^{2} 、 {(\frac{99}{70})}^{2}

中, 比 2 小的数的个数与最小数分别是

A.

2, {(\frac{7}{5})}^{2}

B.

3, {(\frac{7}{5})}^{2}

C.

2, {(\frac{41}{29})}^{2}

D.

3, {(\frac{41}{29})}^{2}

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7. 已知

P = \frac{99^{9}}{9^{99}}, Q = \frac{11^{9}}{9^{90}}

, 那么

P 、 Q

的大小关系是

A.

P > Q

B.

P = Q

C.

P < Q

D.

无法确定

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a = \frac{19951995}{19961996}, b = \frac{19961996}{19971997}, c = \frac{19971997}{19981998}

, 则

A.

a < b < c

B.

b < c < a

C.

c < b < a

D.

a < c < b

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二、填空题（共 11 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 将 1997 减去它的

\frac{1}{2}

, 再减去余下的

\frac{1}{3}

, 再减去余下的

\frac{1}{4}

, 再减去余下的

\frac{1}{5}, \dots \dots

, 依次类推, 直到最后减去余下的

\frac{1}{1997}

. 最后的答数是 ________ (“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)

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10. 计算:

\frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) + (\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{2}{5} + \frac{3}{5}

+ \frac{4}{5}) + \dots + (\frac{1}{50} + \frac{2}{50} + \dots + \frac{48}{50} + \frac{49}{50}) =

(“希望杯”全国数学邀请赛试题)

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11. 100 个数之和为 1990 , 把第 1 个数减 1 , 第 2 个数加 2 , 第 3 个数减

3, \dots

,第 100 个数加 100 , 则所得新数之和为（ “五羊杯”初中数学竟赛题）

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12. 计算:

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{1997}) (1 + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{1996}) - (1 + \frac{1}{2}

+ \dots + \frac{1}{1997}) (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{1996}) =

(1997 年 “希望杯”邀请赛初一试题)

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13. 若

1 = \frac{x y}{x + y}, 2 = \frac{y z}{y + z}, 3 = \frac{z x}{z + x}

, 则

x =

________ (“东方航空杯”上海市初中数学竟赛题)

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14. 对于任意有理数

x 、 y

, 定义一种运算

*

, 规定

x * y = a x

+ b y - c x y

, 其中的

a 、 b 、 c

表示已知数, 等式右边是通常的加、减、乘运算, 又知道

1 * 2 = 3, 2 * 3 = 4, x * m = x (m \neq 0)

, 则

m

的数值是（“希望杯”初中数学邀请赛题）

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15. 若

a + b = 4, a^{3} + b^{3} = 28

, 则

a^{2} + b^{2}

的值是

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16.

(- \frac{191919}{919191}) - (- \frac{1919}{9191}) =

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17. 计算:

\frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{3}{4}) + (\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{5}{6}) + \dots + (\frac{1}{98} + \frac{3}{98}

+ \dots + \frac{97}{98}) =

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18. 计算:

1949^{2} - 1950^{2} + 1951^{2} - 1952^{2} + \dots + 1997^{2} - 1998^{2}

+ 1999^{2} =

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19. 计算:

6 (7 + 1) (7^{2} + 1) (7^{4} + 1) (7^{8} + 1) + 1 =

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