中国科学技术大学2021年数学分析考研真题及参考解答

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中国科学技术大学2021年数学分析考研真题及参考解答

一、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - \cos x}{\sin^{2} x}

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2. 计算积分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin \frac{2 n + 1}{2} x}{\sin \frac{x}{2}} d x

，其中

n

为正整数.

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3. 设

z = \frac{1}{x} f (x^{2} y) + x y g (x + y)

，其中

f, g

具有二阶连续导数，计算

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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4. 设

y (x) = \int_{x}^{4 x} \sin ((x - t)^{2}) d t

，求

y^{'} (x)

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5. 设曲线

γ

由

y^{2} = \frac{1}{3} x^{2} (1 - 4 x), y \geq 0, x \in [0, \frac{1}{4}]

所定义，计算

γ

的弧长

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二、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

6. 计算第二型曲面积分

I = \iint_{S} \frac{x d y d z + z^{4} d x d y}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} .

其中

S

是圆柱面

x^{2} + y^{2} = 1

和平面

z = - 1, z = 1

所围成的立体的表面外侧.

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7. 证明函数项级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(1 - x) x^{n}}{1 - x^{2 n}} \cos (n x)

(1) 在区间

[0, \frac{1}{2}]

上一致收敛;
(2) 在区间

(\frac{1}{2}, 1)

上一致收敛.

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8. 求函数

f (x) = \cos (α x)

在

[- π, π]

上的傅里叶级数，其中

α

不是整数，并证明:
(1)

\frac{1}{α} + 2 α \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{α^{2} - n^{2}} = \frac{π}{\sin (α π)}

.
(2)

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(4 n^{2} - 1)}^{2}} = \frac{π^{2} - 8}{16}

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9. 设

f (x)

是

[0, 1]

上的连续函数, 证明: 存在

c \in (0, 1)

使得

\int_{0}^{c} f (x) d x = (1 - c) f (c)

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10. 求实系数二次多项式

p (x)

，使得

| p (x) + \frac{1}{x - 3} | < 0.02, \forall x \in [- 1, 1] .

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11. 设函数

f (x)

为

[0, 1]

上的连续函数，且

\int_{0}^{1} f (x) d x = 1, \int_{0}^{1} x f (x) d x = \frac{27}{2},

证明:

\int_{0}^{1} f^{2} (x) d x > 2021

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12. 设

f (x)

是

R

上的一个有界连续函数，且满足

lim_{h \to 0} sup_{x \in R} | f (x + h) - 2 f (x) + f (x + h) | = 0 .

证明:

f (x)

在

R

上一致连续.

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