安徽淮南凤台县八年级初中数学竞赛

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安徽淮南凤台县八年级初中数学竞赛

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 若

\frac{| a |}{a - a^{2}} = \frac{1}{a - 1}

, 则

a

的取值范围是

A.

a > 0

且

a \neq 1

B.

a \leq 0

C.

a \neq 0

且

a \neq 1

D.

a < 0

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\frac{1.3}{1000000000} \times \frac{1.08}{9 \times 10^{16}}

用科学记数法表示为

a \times 10^{n}

, 其中

1 \leq a < 10, n

为整数, 则

n =

A.

-23

B.

-24

C.

-25

D.

-26

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3. 分解因式

x^{2} + a x + b

时, Jagger看错了

a

的值, 分解的结果是

(x + 6) (x - 1), M e g

看错了

b

的值, 分解的结果是

(x

- 2) (x + 1)

, 那么正确的分解因式的结果是

A.

(x + 6) (x - 2)

B.

(x + 2) (x - 3)

C.

(x + 6) (x + 1)

D.

(x - 2) (x + 3)

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4. 如图, 四边形

A B C D

中,

A C

为对角线, 已知

P 、 Q

分别是

△ A B C

和

△ A C D

内角平分线的交点,若

∠ A P C + ∠ A Q C = 250^{\circ}

, 则

∠ B A D + ∠ B C D

的值为

A.

220^{\circ}

B.

230^{\circ}

C.

240^{\circ}

D.

250^{\circ}

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5. 若

a 、 b

为有理数, 且

\frac{2 \sqrt{3} - b}{3 - a \sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1

, 则

a 、 b

的值分别为

A.

1 、 0

B.

2 、 2

C.

4 、 1

D.

0 、 2

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6. 015年8月31日慧聪网报道, 爱唱响内蒙音乐夏令营9月开启, 某学校组织部分学生参加夏令营, 李老师从夏令营咨询处带回如图所示的两条信息, 则原来报名参加夏令营的学生有

A.

100人

B.

150人

C.

200人

D.

250人

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7. 如图,

G

为

△ A B C

的重心,

M 、 N

两点分别在

A B 、 B C

上, 且

G M ⊥ A B, G N ⊥ B C

, 若

A B = 12, B C = 5, ∠ B

= 90^{\circ}

, 则长方形

B M G N

的面积为

A.

\frac{26}{3}

B.

\frac{20}{3}

C.

D.

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8. 如图, 线段

A B = C D, A B

与

C D

相交于

O

, 且

∠ A O C = 60^{\circ}, C E

是由

A B

平移所得, 则

A C + B

D

与

A B

的大小关系是

A.

A C + B D > A B

B.

A C + B D = A B

C.

A C + B D < A B

D.

A C + B D \geq A B

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9. 如图, 在平行四边形

A B C D

和平行四边形

B E F G

中,

A B = A D, B G = B E

, 点

A 、 B 、 E

在同一直线上,

P

是线段

D F

的中点, 连接

P G, P C

. 若

∠ A B C = ∠ B E F = 60^{\circ}

, 则

\frac{P G}{P C} =

A.

\sqrt{2}

B.

\sqrt{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{3}

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10. 如图, 在

Z

小区内的正六边形花园中铺设道路, 如果图中实线表示水泥路, 虚线表示沥青路, 若按方案一铺设, 共需 315 万元; 若按方案二铺设,共需300万元；若按方案三铺设, 则需要

A.

150 万元

B.

200 万元

C.

270 万元

D.

380 万元

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 计算

123456785 \times 123456782 - 123456783 \times 123456784

的结果为

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12. 若

| a - x - \frac{1}{x} | + \sqrt{x^{2} - 3 + \frac{1}{x^{2}}} = 0

, 那么

\sqrt{(a - 2)^{2}}

等于

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13. 如图所示是一条宽为

1.5 m

的直角走廊, 现有一辆转动灵活的手推车, 其矩形平板面

A B C D

的宽

A

B

为

1 m

, 若要想顺利推过 (不可坚起来或侧翻) 直角走廊, 平板车的长

A D

不能超过

m

. ( 精确到 0.1 , 参考数据:

\sqrt{2} \approx 1.41, \sqrt{3} \approx 1.73

)

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三、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

14. 高斯符号

[x]

表示不大于

x

的最大整数, 例如：

[3.25] = 3, [2.38] = 2

, 已知

a 、 b

都是正整数, 且满足

[1.9 a] + [8.8 b] =

30, 则

a 、 b

的值共有几组?

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15. 小伟遇到这样一个问题: 如图 1, 在

△ A B C

(其中

∠ B A C

是一个可以变化的角) 中,

A B = 2, A C = 4

, 以

B C

为边在

B C

的下方作等边

△ P B C

, 求

A P

的最大值.
小伟是这样思考的: 利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点

B

为旋转中心将

△ A B P

逆时针旋转

60^{\circ}

得到

△

A^{'} B C

, 连接

A^{'} A

, 当点

A

落在

A^{'} C

上时, 此题可解 (如图2).
请你回答:

A P

的最大值是
参考小伟同学思考问题的方法, 解决下列问题:
如图3, 等腰Rt

△ A B C

. 边

A B = 4, P

为

△ A B C

内部一点, 则

A P + B P + C P

的最小值是 . ( 结果可以不化简)

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