2023香港中文大学强基试题（数学）

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2023香港中文大学强基试题（数学）

一、单选题（共 6 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = a x^{2} + b x + c

的零点为

m, n

, 其中

m < n

, 若函数

f (x) + f^{'} (x)

的零点为

p, q

, 且

p <

q

, 下列判断正确的是

A.

当

a > 0

时,

p < m < q < n

, 当

a < 0

时,

m < p < n < q

B.

当

a < 0

时,

p < m < q < n

, 当

a > 0

时,

m < p < n < q

C.

p < m < q < n

D.

m < p < n < q

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2. 已知圆

x^{2} + y^{2} = 144

, 点

S (a^{5} - a, b^{5} - b)

, 其中

a, b \in Z

, 则下列判断正确的是

A.

存在

a, b \in Z

, 使得

S

在圆内

B.

存在

a, b \in Z

, 使得

S

在圆上

C.

存在无穷组

a, b \in Z

, 使得

S

在园外且

S

关于圆的切点弦所在的直线过整点.

D.

存在一组

a, b \in Z

, 使得

S

在园外且

S

关于圆的切点弦所在的直线过整点

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3. 已知

x, y > 0

, 满足

x + \sqrt{2} y = x y

, 则

A.

x + y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最小值为

2 (\sqrt{2} + 1 - 6^{\frac{1}{4}})

B.

x + y - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最大值为

2 (\sqrt{2} + 1 - 7^{\frac{1}{4}})

C.

x + y - \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最小值为

2 (\sqrt{2} + 1 + 6^{\frac{1}{4}})

D.

x + y + \sqrt{x^{2} + y^{2}}

的最大值为

2 (\sqrt{2} + 1 - 7^{\frac{1}{4}})

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\forall x \in R

, 都有

f (x^{2} + x + 1) + 3 f (x^{2} - 3 x + 3) = 4 x^{2} - 8 x + 16

, 则

A.

f (2) = 3

B.

存在

p

, 使得

f (p) = 2023

C.

f (1) = 0

D.

存在

p

. 使得

f (p) = - 2023

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5. 已知集合

A = {x + 1, x + 2, \dots, x + n}

, 其中

x, n \in N, n ⩾ 6

, 非空集合满足

B \cup C = A, B \cap C = \emptyset

, 记

X_{Z}

为集合

Z

中所有元素的乘积,

Y_{Z}

为集合

Z

中所有元素的最小公倍数,则

A.

存在无穷个

n

, 使得

Y_{B} + Y_{C} = 2^{2024}

B.

存在

n

, 使得

Y_{B} + Y_{C} = 2^{2023}

C.

若

n = 6

, 存在 1 个

x \in N

, 使得

X_{B} = X_{C}

D.

若

n = 6

, 有无穷多个

x \in N

, 使得

X_{B} = X_{C}

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6. 设椭圆

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

, 过点

(0, - 1)

的直线交椭圆于

A, B

两点, 过椭圆上一点

P

作

x

轴的平行线, 于

A B

交于

Q

点, 记

S_{1} = S_{△ A P Q}, S_{2} = S_{△ B P Q}

, 满足

S_{1} \cdot | A Q | = S_{2} \cdot | B Q |

, 则

A.

若

\frac{S_{1}}{S_{2}}

为定值, 则

\frac{k_{A B}}{k_{O P}}

为定值

B.

若

S_{1} S_{2}

为定值,则

k_{A B} k_{O P}

为定值

C.

\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{k_{A B}}{k_{O P}}

D.

\frac{S_{1} S_{2}}{k_{A B} k_{O P}}

为定值

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二、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

7. 数列

{a_{n}}

满足下列条件: (1)

a_{1} = 1, a_{20} = 5; (2) a_{k + 1} - a_{k} \in {0, 1}, k = 1, 2, 3, \dots, 19

(3) 对

\forall i, j \in {1, 2, \dots, 20}

都存在

m, n \in {1, 2, \dots, 20}

, 使得

a_{i} + a_{j} = a_{n} + a_{m}

, 其中

i, j, m, n

互不相同, 则

{a_{n}}

前 20 项和有

A.

最大值 72

B.

最大值 74

C.

最小值 46

D.

最小值 48

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 已知

x, y \in R

, 满足

5 x^{2} y^{2} + y^{4} = 1

, 求

x^{2} + y^{2}

的最小值

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9. 数列

{a_{n}}

满足

a_{n + 1} = a_{n} a_{n + 1} + a_{n} + 1

, 且

a_{1} = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}

, 求

{a_{n}}

的前 2024 项的积

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10. 已知空间四边形

A B C D

, 满足

A B = A C = 2 \sqrt{3}, B D = 10, C D = 8, ∠ B A C = 120^{\circ}

, 若平面

A B C ⊥

平面

B C D

, 求

A B C D

的外接球表面积.

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四、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 已知

\frac{x}{\sin^{2} 72^{\circ} + 2024} + \frac{y}{\sin^{2} 72^{\circ} - 2023} = 1, \frac{x}{\sin^{2} 18^{\circ} + 2024} + \frac{y}{\sin^{2} 18^{\circ} - 2023} = 1

, 求

x + y

的值

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12. 已知复数

z_{i} (i = 1, 2, \dots, 2023)

, 满足

| z_{i} | = 1, | \sum_{i = 1}^{2023} z_{i} | = 0

, 求

T = | \sum_{k = 1}^{2023} \frac{\prod_{i = 1}^{202} z_{i}}{z_{k}} |

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