单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=a x^2+b x+c$ 的零点为 $m, n$, 其中 $m < n$, 若函数 $f(x)+f^{\prime}(x)$ 的零点为 $p, q$, 且 $p < $ $q$, 下列判断正确的是
$\text{A.}$ 当 $a>0$ 时, $p < m < q < n$, 当 $a < 0$ 时, $m < p < n < q$
$\text{B.}$ 当 $a < 0$ 时, $p < m < q < n$, 当 $a>0$ 时, $m < p < n < q$
$\text{C.}$ $p < m < q < n$
$\text{D.}$ $m < p < n < q$
已知圆 $x^2+y^2=144$, 点 $\mathrm{S}\left(a^5-a, b^5-b\right)$, 其中 $a, b \in Z$, 则下列判断正确的是
$\text{A.}$ 存在 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在圆内
$\text{B.}$ 存在 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在圆上
$\text{C.}$ 存在无穷组 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在园外且 $S$ 关于圆的切点弦所在的直线过整点.
$\text{D.}$ 存在一组 $a, b \in Z$, 使得 $S$ 在园外且 $S$ 关于圆的切点弦所在的直线过整点
已知 $x, y>0$, 满足 $x+\sqrt{2} y=x y$, 则
$\text{A.}$ $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为 $2\left(\sqrt{2}+1-6^{\frac{1}{4}}\right)$
$\text{B.}$ $x+y-\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大值为 $2\left(\sqrt{2}+1-7^{\frac{1}{4}}\right)$
$\text{C.}$ $x+y-\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值为 $2\left(\sqrt{2}+1+6^{\frac{1}{4}}\right)$
$\text{D.}$ $x+y+\sqrt{x^2+y^2}$ 的最大值为 $2\left(\sqrt{2}+1-7^{\frac{1}{4}}\right)$
$\forall x \in R$, 都有 $f\left(x^2+x+1\right)+3 f\left(x^2-3 x+3\right)=4 x^2-8 x+16$, 则
$\text{A.}$ $ f(2)=3$
$\text{B.}$ 存在 $p$, 使得 $f(p)=2023$
$\text{C.}$ $f(1)=0$
$\text{D.}$ 存在 $p$. 使得 $f(p)=-2023$
已知集合 $A=\{x+1, x+2, \ldots, x+n\}$, 其中 $x, n \in N, n \geqslant 6$, 非空集合满足 $B \cup C=A, B \cap C=\varnothing$, 记 $X_Z$ 为集合 $Z$ 中所有元素的乘积, $Y_Z$ 为集合 $Z$ 中所有元素的最小公倍数,则
$\text{A.}$ 存在无穷个 $n$, 使得 $Y_B+Y_C=2^{2024}$
$\text{B.}$ 存在 $n$, 使得 $Y_B+Y_C=2^{2023}$
$\text{C.}$ 若 $n=6$, 存在 1 个 $x \in N$, 使得 $X_B=X_C$
$\text{D.}$ 若 $n=6$, 有无穷多个 $x \in N$, 使得 $X_B=X_C$
设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 过点 $(0,-1)$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点, 过椭圆上一点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线, 于 $A B$ 交于 $Q$ 点, 记 $S_1=S_{\triangle A P Q}, S_2=S_{\triangle B P Q}$, 满足 $S_1 \cdot|A Q|=S_2 \cdot|B Q|$, 则
$\text{A.}$ 若 $\frac{S_1}{S_2}$ 为定值, 则 $\frac{k_{A B}}{k_{O P}}$ 为定值
$\text{B.}$ 若 $S_1 S_2$ 为定值,则 $k_{A B} k_{O P}$ 为定值
$\text{C.}$ $ \frac{S_1}{S_2}=\frac{k_{A B}}{k_{O P}}$
$\text{D.}$ $\frac{S_1 S_2}{k_{A B} k_{O P}}$ 为定值
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足下列条件: (1) $a_1=1, a_{20}=5 ;(2) a_{k+1}-a_k \in\{0,1\}, k=1,2,3, \ldots, 19$
(3) 对 $\forall i, j \in\{1,2, \ldots, 20\}$ 都存在 $m, n \in\{1,2, \ldots, 20\}$, 使得 $a_i+a_j=a_n+a_m$, 其中 $i, j, m, n$ 互不相 同, 则 $\left\{a_n\right\}$ 前 20 项和有
$\text{A.}$ 最大值 72
$\text{B.}$ 最大值 74
$\text{C.}$ 最小值 46
$\text{D.}$ 最小值 48
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $x, y \in R$, 满足 $5 x^2 y^2+y^4=1$, 求 $x^2+y^2$ 的最小值
数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=a_n a_{n+1}+a_n+1$, 且 $a_1=1+\sqrt{2}-\sqrt{3}$, 求 $\left\{a_n\right\}$ 的前 2024 项的积
已知空间四边形 $A B C D$, 满足 $A B=A C=2 \sqrt{3}, B D=10, C D=8, \angle B A C=120^{\circ}$, 若平面 $A B C \perp$ 平面 $B C D$, 求 $A B C D$ 的外接球表面积.
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\dfrac{x}{\sin ^2 72^{\circ}+2024}+\dfrac{y}{\sin ^2 72^{\circ}-2023}=1, \dfrac{x}{\sin ^2 18^{\circ}+2024}+\dfrac{y}{\sin ^2 18^{\circ}-2023}=1$, 求 $x+y$ 的值
已知复数 $z_i(i=1,2, \ldots, 2023)$, 满足 $\left|z_i\right|=1,\left|\sum_{i=1}^{2023} z_i\right|=0$, 求 $T=\left|\sum_{k=1}^{2023} \frac{\prod_{i=1}^{202} z_i}{z_k}\right|$