单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛，则 $x=\sqrt{3}$ 和 $x=3$ 依次为级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^n$ 的 （ ）．
$\text{A.}$ 收敛点，收敛点
$\text{B.}$ 收敛点，发散点
$\text{C.}$ 发散点，收敛点
$\text{D.}$ 发散点，发散点
设 $f(u, v)$ 有二阶连续偏导数，$z=f(x, x y)$ ，则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=()$ 。
$\text{A.}$ $x f_{12}^{\prime \prime}+x y f_{22}^{\prime \prime}+f_2^{\prime}$
$\text{B.}$ $f_{12}^{\prime \prime}+x y f_{22}^{\prime \prime}+f_2^{\prime}$
$\text{C.}$ $x f_{12}^{\prime \prime}+x y f_{22}^{\prime \prime}$
$\text{D.}$ $x f_{12}^{\prime \prime}+y f_{22}^{\prime \prime}+f_2^{\prime}$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}=(\quad)$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $I_1=\iint_D \cos \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} \sigma, I_2=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma, I_3=\iint_D \cos \left(x^2+\right. \left.y^2\right)^2 \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_3>I_1>I_2$
设 $L: x^2+y^2=1$ ，则 $\oint_L x^2 \mathrm{~d} s=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $2 \pi$
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{2}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{1}{n}$ 的收敛性为
设曲线方程为 $x=2 t+1, y=2 t^2-1, z=t^2+2$ ，则点 $(-1,2,2)$ 到 $t=-1$ 处的法平面的距离为
设 $\sin (x+2 y-3 z)=x+2 y-3 z$ ，则 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}(|x| < 1)$ 的和函数为
设 $\Omega$ 是圆锥面 $z^2=x^2+y^2$ 与平面 $z=1$ 围成的区域，则 $\iiint_{\Omega} z \mathrm{~d} V=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求过点 $(1,-2,4)$ 且与平面 $4 x+y-6 z=2$ 和 $y-3 z+2=0$ 平行的直线方程．
已知函数 $z=f(x, y)$ 的全微分 $\mathrm{d} z=2 x \mathrm{~d} x-2 y \mathrm{~d} y$ ，并且 $f(1,1)=2$ ，求 $f(x, y)$ 在椭圆域 $D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^2+\frac{y^2}{4} \leqslant 1\right.\right\}$ 上的最大值与最小值．
试把函数 $f(x)=\left(x^2+1\right) \ln \left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求其收敛域。
试求曲面 $z=a+\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 围成的立体的体积 $V (a>0)$ ．
计算 $\oint_L \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{|x|+|y|}$ ，其中 $L$ 为 $|x|+|y|=1$ ，方向为逆时针．
计算 $\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(y^3+2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\Sigma$ 为曲面 $x=\sqrt{1-3 y^2-3 z^2}$ ，方向为前侧．