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《大数定律与中心极限定理》单元测试

发布日期 2026/6/12 21:01:41      查看 76      加入组卷      查看作者     
单选题
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ ，则根据列维一林德伯格（Levy－Lindberg）中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$
．
$\text{A.}$ 有相同的数学期望 $\text{B.}$ 有相同的方差 $\text{C.}$ 服从同一指数分布 $\text{D.}$ 服从同一离散型分布
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立，且 $X_i$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的指数分布，则当 $n$充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 的概率分布近似服从 ．
$\text{A.}$ $N(2,4)$ $\text{B.}$ $N\left(2, \frac{4}{n}\right)$ $\text{C.}$ $N\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4 n}\right)$ $\text{D.}$ $N(2 n, 4 n)$
假设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $E X_n=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i < n\right\}=$
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ 1
填空题
设随机变量 $X$ 的方差为 2 ，则根据切比雪夫不等式估计 $P\{|X-E(X)| \geqslant 2\}$
$\leqslant$
一加法器同时收到 20 个噪声电压 $V_i(i=1, \cdots, 20)$ ．设它们相互独立且都服从 $(0,10)$ 上的均匀分布，则 $P\left\{\sum_{i=1}^{20} V_i>105\right\}=$ $\_\_\_\_$
解答题
设随机变量 $X$ 的数学期望 $E X=\mu$ ，方差 $D X=\sigma^2$ ，则由切比雪夫不等式，有 $P\{|X-\mu| \geqslant 3 \sigma\} \leqslant$
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本；已知 $E X^k=a_k(k=1,2,3,4)$ ，并且 $a_1-a_2^2>0$ 。证明当 $n$ 充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布，并指出其分布参数．
某单位设置一电话总机，共有 200 个电话分机，设每个电话分机有 $5 \%$ 的时间要使用外线通话，假设每个分机是否使用外线通话是相互独立的。问总机要多少外线才能以 $90 \%$ 的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。
在一家保险公司里有 10000 人参加保险，每人每年付 12 元保险费．在一年内一个人死亡的概率为 0.006 ，死亡后家属可向保险公司领取1000元。试求：
（1）保险公司亏本的概率；
（2）保险公司一年的利润不少于 60000 元的概率．
有一批建筑房屋用的木柱，其中 $80 \%$ 的长度不小于 3 m ，现在这批木柱中随机地取出 100 根，问其中至少有 30 根短于 3 m 的概率是多少？
某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种血液病的治愈率为 0.8 ，医院任意抽查 100 个服用此药品的病人，若其中多于 75 人治愈，就接受此断言，否则就拒绝此断言。
（1）若实际上此药品对该病治愈率是 0.8 ，求接受此断言的概率；
（2）若实际上此药品对该病治愈率是 0.7 ，求接受此断言的概率．