填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\ln (-1-3 \sqrt{i})$ 的模 $\_\_\_\_$ ．幅角 $\_\_\_\_$
$\operatorname{Ln} z$ 在 $\_\_\_\_$的区域内连续
$f(z)=x^2-y^2+2 x y i$ 的导数 $f^{\prime}(z)=$
$\operatorname{Re} s\left[\frac{\sin z}{z^3}, 0\right]=$
若 $F(\omega)=\mathrm{F}[f(t)]$ ．则 $f(t)=\mathrm{F}^{-1} f[(\omega)]$
若 $f(t)$ 满足拉氏积分存在条件．则 $\mathrm{L}[f(t)]=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $v(x, y)=-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{2} y^2$ ．求函数 $u(x, y)$ 使函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 为解析函数．且 $f(0)=0$
应用留数的相关定理计算
$$
\int_{|z|=2} \frac{d z}{z^6(z-1)(z-3)}
$$
计算积分
1． $\int_{|z|=2} \frac{d z}{z(z-1)}$
2． $\int_c \frac{\cos z}{(z-i)^3} \quad C$ ：绕点 $i$ 一周正向任意简单闭曲线。
求函数 $f(z)=\frac{1}{z(z-i)}$ 在以下各圆环内的罗朗展式。
1． $0 < |z-i| < 1$
2． $1 < |z-i| < +\infty$
应用拉氏变换求方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}+y+z^{\prime}=1 \\ x+y^{\prime}+z=0 \text { 满足 } x(0)=y(0)=z(0)=0 \text { 的解 } \\ y+4 z^{\prime}=0\end{array}\right. y(t)$
就书中内容．函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明以下命题：
（1）$\delta\left(t-t_0\right)$ 与 $e^{-i w t_o}$ 构成一对傅氏变换对。
（2） $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i \omega t} d t=2 \pi \delta(\omega)$