单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $a, b$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$ ．
$\text{B.}$ $a>0, b>0$ ．
$\text{C.}$ $a=0, b>0$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$ ．
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=\mathrm{e}^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{B.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+\mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{C.}$ $A \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $A x \mathrm{e}^{2 x}+x \mathrm{e}^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$ ．
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $2 y y^{\prime}-y^2-2=0$ 满足条件 $y(0)=1$ 的特解 $y=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x+\Delta x)-f(x)=2 x f(x) \Delta x+o(\Delta x)$ ，且 $f(0)=2$ ，则 $f(1)=$
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^3$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=\mathrm{e}^3$ 的解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$
过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime} \arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程为
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 的通解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}=\frac{1}{(x+y)^2}$ ，满足条件 $y(1)=0$ 的解为
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=-2 x$ 的通解为
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的通解为 $y=$
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x+\cos x$ 的通解．
微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为
求微分方程 $y^{\prime \prime}\left(x+y^{\prime 2}\right)=y^{\prime}$ 满足初始条件 $y(1)=y^{\prime}(1)=1$ 的特解．
已知微分方程 $y^{\prime}+y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的连续函数．
（I）若 $f(x)=x$ ，求方程的通解；
（II）若 $f(x)$ 是周期为 $T$ 的函数，证明：方程存在唯一的以 $T$ 为周期的解．
设函数 $f(x)$ 连续，且满足 $\int_0^x f(x-t) \mathrm{d} t=\int_0^x(x-t) f(t) \mathrm{d} t+\mathrm{e}^{-x}-1$ ，求 $f(x)$ ．
设曲线 $y=f(x)$ ，其中 $y=f(x)$ 是可导函数，且 $f(x)>0$ ．已知曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=0, x=1$ 及 $x=t(t>1)$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得的立体体积值是曲边梯形面积值的 $\pi t$ 倍，求该曲线方程．
某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为 9000 kg 的飞机，着陆时的水平速度为 $700 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为 $k=6.0 \times 10^6$ ）．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？（注： kg 表示千克， $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ 表示千米／小时）
微分方程 $x^2 y^{\prime}+x y=y^2$ 满足初值条件 $y(1)=2$ 的特解为
欧拉方程 $x^2 \frac{\mathrm{~d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+4 x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
差分方程$ \Delta^2 y_x-y_x=5$ 的解为