单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则（）
$\text{A.}$ 当 $f^{\prime}(x) < 0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x) < 0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
$\text{C.}$ 当 $f^{\prime}(x)>0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 时，$f\left(\frac{1}{2}\right) < 0$ ．
已知 $I_1=\int_0^1 \frac{x}{2(1+\cos x)} \mathrm{d} x, I_2=\int_0^1 \frac{\ln (1+x)}{1+\cos x} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^1 \frac{2 x}{1+\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则（
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$ ．
$\text{B.}$ $I_2 < I_1 < I_3$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$ ．
$\text{D.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ．
如图，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$ ．
$\text{B.}$ $F(3)=\frac{5}{4} F(2)$ ．
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$ ．
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$ ．
下列反常积分发散的是（ ）
$\text{A.}$ $\int_0^{+\infty} x^2 \mathrm{e}^{-x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x} \mathrm{e}^x} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^2 x} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{(x+1) \ln ^2(x+1)} \mathrm{d} x$ ．
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围图形的面积可表示为（ ）
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
$\text{D.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) \mathrm{d} x$ ．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且 $f^{\prime}(x)=2(x-1), x \in[0,2]$ ，则 $f(7)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right]=$
解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求不定积分 $\int \mathrm{e}^{2 x} \arctan \sqrt{\mathrm{e}^x-1} \mathrm{~d} x$
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}}$ ．
计算 $\int \mathrm{e}^{2 x}(\tan x+1)^2 \mathrm{~d} x$ ．
设 $f\left(\sin ^2 x\right)=\frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} f(x) \mathrm{d} x$ ．
$ \int \frac{x+5}{x^2-6 x+13} \mathrm{~d} x=$
求不定积分 $\int \frac{x \cos ^4 \frac{x}{2}}{\sin ^3 x} \mathrm{~d} x$ ．
求 $\int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)} \mathrm{d} x$ ．
$\int_0^{\pi^2} \sqrt{x} \cos \sqrt{x} \mathrm{~d} x=$
$ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^n x}{\sin ^n x+\cos ^n x} \mathrm{~d} x=$
计算定积分 $\int_0^1 x \arcsin x \mathrm{~d} x$
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} \mathrm{~d} t$ ，计算 $\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x$
设函数 $S(x)=\int_0^x|\cos t| \mathrm{d} t$ ，
（I）当 $n$ 为正整数，且 $n \pi \leqslant x < (n+1) \pi$ 时，证明： $2 n \leqslant S(x) < 2(n+1)$ ；
（II）求 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{S(x)}{x}$ ．
求曲线 $y=\sqrt{x}$ 的一条切线 $l$ ，使该曲线与切线 $l$ 及直线 $x=0, x=2$ 所围成图形面积最小
过点 $P(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线，该切线与上述抛物线及 $x$ 轴围成一平面图形，求此图形绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。
当 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$ 时，对数螺线 $r=\mathrm{e}^\theta$ 的弧长为
斜边为 $2 a$ 的等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为 $g$ ，水密度为 $\rho$ ，则该平板一侧所受的水压力为