单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
$f(x)=\sin \left(x^2-x\right)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数；
$\text{B.}$ 周期函数；
$\text{C.}$ 奇函数；
$\text{D.}$ 偶函数．
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) < g(a), f(b)>g(b)$ 则方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(a, b)$ 内
$\text{A.}$ 有且仅有一个实根；
$\text{B.}$ 未必有实根；
$\text{C.}$ 至少有两个实根；
$\text{D.}$ 至少有一个实根．
设 $f(x)$ 对任意的 $x$ 满足 $f(1+x)=a f(x)$ 且 $f^{\prime}(0)=b$ ，其中 $a, b$ 为非零常数，则 $f^{\prime}(1)$
$\text{A.}$ 不存在；
$\text{B.}$ 等于 $a$ ；
$\text{C.}$ 等于 $b$ ；
$\text{D.}$ 等于 $a b$ ．
设 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 可导，下列三个图形分别是
（1）$y=f(x)$ ，
（2）$y=\int_0^x f(t) d t$ ，
（3）$y=f^{\prime}(x)$ 的示意图，从定性上分析，其对应关系为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
曲线 $y=\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}$
$\text{A.}$ 没有渐近线；
$\text{B.}$ 仅有水平渐近线；
$\text{C.}$ 仅有铅直渐近线；
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线．
下列等式中，正确的是
$\text{A.}$ $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)$ ；
$\text{B.}$ $\int d f(x)=f(x)$ ；
$\text{C.}$ $\frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x)$ ；
$\text{D.}$ $d \int f(x) d x=f(x)$ ．
$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续是 $\int_a^b f(x) d x$ 存在的
$\text{A.}$ 必要条件；
$\text{B.}$ 充分条件；
$\text{C.}$ 充要条件；
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件．
曲线 $y=x(x-1)(2-x)$ 与 $x$ 轴所围成图形面积可表示为
$\text{A.}$ $-\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{B.}$ $\int_0^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{C.}$ $-\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x+\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
$\text{D.}$ $\int_0^1 x(x-1)(2-x) d x-\int_1^2 x(x-1)(2-x) d x$ ；
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\arccos \left(\frac{\cos x-1}{x^2}\right)(x \neq 0)$ ，欲使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，需要定义 $\boldsymbol{f}(\mathbf{0})=$
已知 $y=\sin x$ ，则 $\frac{d y^3}{d x^3}=$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 可导，且 $F(x)=x \int_0^{\frac{1}{x}} f(t) d t(x \neq 0)$ ，则 $F^{\prime \prime}(x)=$
设 $f(x)$ 连续可导，则 $\int f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow \infty} g(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}=2014$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln f(x)}{\ln g(x)}=$
广义积分 $\int_0^{+\infty} x e^{-x^2} d x=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x \sin ^2 x}$ ．
已知 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，试求二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$
设 $y=y(x)$ 是由 $2 y^3-2 y^2+2 x y-x^2=1$ 所确定，求 $y=y(x)$的驻点，并判断它是否是极值点．
计算积分（1） $\int \arcsin x d x$ ；
（2） $\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\cos k x \sin k x+\sqrt{2-x^2}\right) d x$ ．
把抛物线 $y^2=4 a x$ 及直线 $x=x_0\left(x_0>0\right)$ 所围成的图形绕 $x$ 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积．
设 $x_1=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_n}$ ，证明 $x_n$ 的极限存在，并求之．
证明：设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x f(x) d x$ ，则至少存在 $\xi \in(0,1)$ ，使 $f^{\prime}(\xi)=-\frac{f(\xi)}{\xi}$ ．