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大数定律与中心极限定理

发布日期 2025/12/10 8:56:00      查看 0      加入组卷      查看作者     
单选题
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n$ 则根据列维一林德柏格（Levy－Lindberg）中心极限定理，当 $n$ 充分大时，$S_n$ 近似服从正态分布，只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$
$\text{A.}$ 有相同的数学期望． $\text{B.}$ 有相同的方差． $\text{C.}$ 服从同一指数分布． $\text{D.}$ 服从同一离散型分布．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$的指数分布，记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数，则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． $\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． $\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ． $\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n} \lambda} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$ ．
已知随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 相互独立且都在 $(-1,1)$ 上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant \sqrt{n}\right\}=$
$\text{A.}$ $\Phi(0)$ ． $\text{B.}$ $\Phi(1)$ ． $\text{C.}$ $\Phi(\sqrt{3})$ ． $\text{D.}$ $\Phi(2)$ ．
假设随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 独立同分布，且 $E X_n=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\sum_{i=1}^n X_i \leqslant\right. n\}=$
$\text{A.}$ 0 ． $\text{B.}$ $\frac{1}{4}$ ． $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ ． $\text{D.}$ 1 ．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，其中 $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2} , \Phi(x)$ 表示标准正态分布的分布函数，则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \le 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$ ． $\text{B.}$ $\Phi(1)$ ． $\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$ ． $\text{D.}$ $\Phi(0.2)$ ．
填空题
设随机变量 $X$ 的方差为 2 ，则根据切比雪夫不等式有估计 $P\{|X-E(X)| \geqslant 2\} \leqslant$
设随机变量 $X, Y$ 的数学期望分别为 -2 和 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 -0.5 ．则根据切比雪夫不等式 $P\{|X+Y| \geqslant 6\} \leqslant$
设 $X$ 为随机变量且 $E(X)=\mu, D(X)=\sigma^2$ ．则由切比雪夫不等式，有 $P\{|X-\mu| \geqslant 3 \sigma\} \leqslant$
设随机变量 $X$ 在 $[-1, b]$ 上服从均匀分布，若由切比雪夫不等式有 $P\{|X-1| < \varepsilon\} \geqslant \frac{2}{3}$ ，则 $b=$
设总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则当 $n \rightarrow \infty$ 时，$Y_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于
将一个骰子重复掷 $n$ 次，各次掷出的点数依次为 $X_1, \cdots, X_n$ ．则当 $n \rightarrow \infty$ 时， $\bar{X}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 依概率收敛于
假设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 独立同分布，且 $E X_i=D X_i=1(1 \leqslant i \leqslant 2 n)$ ，如果 $Y_n=c \sum_{i=1}^n \frac{X_{2 i}-X_{2 i-1}}{\sqrt{n}}$ ，则当常数 $c=$ $\_\_\_\_$时，根据独立同分布中心极限定理，当 $n$ 充分大时 $Y_n$ 近似服从标准正态分布．
解答题
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克．若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977(\Phi(2)=0.977$ ，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数）．
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本；已知 $E\left(X^k\right)=a_k(k=1,2$ ， $3,4)$ 。证明：当 $n$ 充分大时，随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布，并指出其分布参数．
某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 $20 \%$ ，以 $X$ 表示在随意抽査的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。
（I）写出 $X$ 的概率分布；
（II）利用棣莫弗一拉普拉斯定理，求出被盗索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值．
（附表）$\Phi(x)$ 是标准正态分布函数．

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