填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $z^4=1-i$ ，则 $ z$ 所有取值为
设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内解析，$C$ 是 $D$ 内一条简单正向闭曲线， $\xi$ 在 $C$ 的外部，则积分 $\int_C \frac{f(z)} {(z-\xi)^{2009}} d z=$
在映射 $w=z^2$ 下，区域 $|w| < 1,0 < \arg w < \pi$ 的原像为
函数 $w=x^2+i x y$ 在如下范围内可导
计算积分 $\int_0^i(z-i) e^{-z} d z=$
函数 $f(z)=e^{z^2} \cos z^2$ 在 $z_0=0$ 的泰勒展开式为
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算$\operatorname{Ln}(5+12 i)$ 和 $i^i$ 的值
设 $f(z)=m y^3+n x^2 y+i\left(x^3+l x y^2\right)$ 在复平面上解析，求 $l, m, n$
计算积分 $\int_C \frac{\bar{z}}{|z|} d z$ ，其中 $C:|z|=2$ 正向
$C$ 的参数方程： $\mathrm{z}=2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}(0 \leq z \leq 2 \pi)$
函数 $f(z)=\frac{\sin z}{z^3}$ 和 $g(z)=e^{\frac{1}{z-1}}$ 都有什么奇点？如果是极点，请指出它是几阶极点。
计算如下幂级数的收敛半径：
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^n} z^n$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{n}} z^n$ 。
计算积分 $\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1-2 p \sin \theta+p^2} d \theta, 0 < p < 1$ 。
计算积分 $\int_C \frac{1}{\left(z^2+1\right)^5(z-1)(z-3)} d z, \quad C:|z|=2$ ，为正向曲线。
在指定区域展开成洛朗级数：
（1）$f(z)=\frac{1}{z(1-z)^2}, \quad 0 < |z-1| < 1 ; \quad 1 < |z-1| < +\infty$
（2）$f(z)=\frac{\ln (1-z)}{z^2}, \quad 0 < \mid z < 1$
计算积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^2}{x^4+1} d x$ 。