在数字通信中，由于存在随机干扰，因此接收到的信号有误差。发报机发出信号 0 的概率是 0.8 ，发出信号 1 的概率是 0.2 ．当发出信号 0 的时候，收到信号 1 的概率是 0.3 ．当发出信号 1 的时候，收到信号 1 的概率是 0.9 ．试计算当接收到信号 1 的时候，发报机发出是信号 1 的概率。
随机变量 $X \sim N(0,1), Y=|X|$ ，求随机变量 $Y$ 的概率密度函数。
随机变量 $X$ 的密度函数是 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^2 & x \in[-1,0] \\ b x & x \in(0,1] \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}, \quad E(X)=\frac{1}{12}\right.$ 。试计算系数 $a, b$
已知随机变量 $X$ 在区间 $[0,1]$ 服从均匀分布，随机变量 $Y$ 在区间 $[0,1]$ 服从均匀分布，且 $X, Y$ 相互独立。求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数。
甲乙两人独立地，等可能地，各自向区间 $[0,1]$ 内随机投掷一个点。求两人投掷的点之间的距离大于 $\frac{1}{2}$ 的概率
二维随机变量 $(X, Y)$ 在三角形 D 内服从均匀分布。 D 由直线， $\mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0, \mathrm{x}+\mathrm{y}=1$ 围成。求 $\mathrm{E}(X Y)$
测量一个物理量的值总有误差的，因此测量值是随机变量，设它服从 $N(3,0.22^2)$ ，进行 n 次重复测量。要求 n 次测量的平均值在区间 $(2.9,3.1)$ 内的概率 $\geq 0.9$ ．问至少要重复测量多少次？$z_{0.05}=1.65, z_{0.1}=1.29$
设总体 $X$ 的概率密度是 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x} & x>0, \quad \lambda>0 \text { ，是未知参数，样本观测 } \\ 0 & x < 0\end{array}\right.$值 $\left(x_1, x_2, \cdots x_n\right)$ ，求 $\lambda$ 的极大似然估计量。
设某天的自动包装机包装的每包产品重量服从正态分布，从中随机抽取 25 包，算得平均重量是 46 克，标准差 10 克，问在显著性水平 0.05 下，可否认为这天的包装机包装产品每包平均重量是 50 克．并给出检验过程。$t_{0.05}(24)=1.7109, t_{0.025}(24)=2.0639$