解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
用极限的定义证明 $\lim _{x \rightarrow 3^{+0}} \frac{(x-3)(x-5)}{x-4}=0$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^2-x^3 \sin \frac{1}{x}\right)$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x \cos x-x-1}{x \sin x \tan x}$
求下列函数中 $y$ 关于 $x$ 的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$
1．$y=\frac{x^4}{1-x} \sqrt{\frac{(x+1)(x+2)}{1+x+x^2}}$
2．$y=\sqrt{x^x+\frac{\ln x}{x}}$
求不定积分
1． $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^3 x \cos ^5 x}$
2． $\int \arcsin { }^2 x \mathrm{~d} x$
求函数 $y=\ln x$ 在 $x=1$ 处带拉格朗日型余项的 $n$ 阶泰勒公式．
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow a^{+0}} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow b^{-0}} f(x)=-\infty$ ，求证 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 必有最大值
证明方程 $x \sin x=2010$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有无穷多个解．
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-x-1]=0$ ，证明 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 一致连续．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，在 $(a, b)$ 可导，求证在 $(a, b)$ 内存在相异两点 $\xi$ 和 $\eta$ 使得 $f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=\left[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right]^2$