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《复变函数与积分变换》期末试题

发布日期 2025/10/23 17:41:51      查看 46      加入组卷      查看作者     
单选题
解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的导函数为
$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i u_y$ ； $\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=u_x-i u_y$ ； $\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i v_y$ ； $\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=u_y+i v_x$ ．
C 是正向圆周 $|z|=3$ ，如果函数 $f(z)=(\quad)$ ，则 $\oint_C f(z) \mathrm{d} z=0$ ．
$\text{A.}$ $\frac{3}{z-2}$ ； $\text{B.}$ $\frac{3(z-1)}{z-2}$ ； $\text{C.}$ $\frac{3(z-1)}{(z-2)^2}$ ； $\text{D.}$ $\frac{3}{(z-2)^2}$ ．
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z=2$ 点收敛，则级数在
$\text{A.}$ $z=-2$ 点条件收敛； $\text{B.}$ $z=2 i$ 点绝对收敛； $\text{C.}$ $z=1+i$ 点绝对收敛； $\text{D.}$ $z=1+2 i$ 点一定发散．
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，则 $f(z)$ 在 $z_0$ 点一定解析； $\text{B.}$ 如果 $f(z)$ 在 C 所围成的区域内解析，则 $\oint_C f(z) d z=0$ $\text{C.}$ 如果 $\oint_C f(z) d z=0$ ，则函数 $f(z)$ 在 $C$ 所围成的区域内一定解析； $\text{D.}$ 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域内解析的充分必要条件是 $u(x, y) 、 v(x, y)$ 在该区域内均为调和函数．
下列结论不正确的是 ．
$\text{A.}$ $\infty$ 为 $\sin \frac{1}{z}$ 的可去奇点； $\text{B.}$ $\infty$ 为 $\sin z$ 的本性奇点； $\text{C.}$ $\infty$ 为 $\frac{1}{\sin \frac{1}{z}}$ 的孤立奇点： $\text{D.}$ $\infty$ 为 $\frac{1}{\sin z}$ 的孤立奇点
填空题
$\frac{1-i \sqrt{3}}{2}$ 的幅角是
$\operatorname{Ln}(-1+i)$ 的主值是
$f(z)=\frac{1}{1+z^2}, f^{(5)}(0)=$
$z=0$ 是 $\frac{z-\sin z}{z^4}$ 的（ ）极点
$f(z)=\frac{1}{z}, \operatorname{Re} s[f(z), \infty]=$
解答题
设 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数，求 $a, b, c, d$ ．
计算 $\oint_C \frac{e^z}{(z-1)^2 z} \mathrm{~d} z$ 其中 C 是正向圆周：
$\oint_{|z|=3} \frac{z^{15}}{\left(1+z^2\right)^2\left(2+z^4\right)^3} \mathrm{~d} z$
函数 $f(z)=\frac{z\left(z^2-1\right)(z+2)^3}{(\sin \pi z)^3}(z-3)^2$ 在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级．
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$ 在以下区域内展开成罗朗级数；
（1） $0 < |z-1| < 1$ ，
（2） $0 < |z| < 1$ ，
（3） $1 < |z| < \infty$
用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：
$ f( {t})= {e}^{- {\beta}| {t}|}( {\beta}>0)$ 的傅立叶变换，并由此证明