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2025-2026 江苏省无锡市锡山区湖滨中学高一(上)9月第一次月考

发布日期 2025/10/15 15:18:45      查看 1      加入组卷      查看作者     
单选题
设集合 $M=\{0,1,2\}, N=\left\{x \mid x^2-3 x+2 \leq 0\right\}$ ，则 $M \cap N=(\quad)$

$\text{A.}$ $\{1\}$ $\text{B.}$ $\{2\}$ $\text{C.}$ $\{0,1\}$ $\text{D.}$ $\{1,2\}$
已知正实数 $x, y$ 满足 $x+2 y=2 x y$ ．则 $x+y$ 的最小值为

$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ $\sqrt{2}$ $\text{C.}$ $\sqrt{3}$ $\text{D.}$ $\sqrt{2}+\frac{3}{2}$
若实数 $a, b$ 满足 $a b>0$ ，则 $a^2+b^2+\frac{1}{2 a b}+1$ 的最小值为（ ）

$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 5
设集合 $A=\{x \mid 2 a < x < a+2\}, B=\{x \mid x < -3$ 或 $x>5\}$ ，若 $A \cap B=\varnothing$ ，则实数 $a$ 的取值范围为

$\text{A.}$ $\left[-\frac{3}{2},+\infty\right)$ $\text{B.}$ $\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ $\text{C.}$ $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right]$ $\text{D.}$ $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)$
已知集合 $A=\left\{x \mid a x^2+2 x+a=0, a \in R\right\}$ ，若集合 $A$ 有且仅有2个子集，则 $a$ 的取值是（ ）

$\text{A.}$ 1 $\text{B.}$ -1 $\text{C.}$ 0,1 $\text{D.}$ $-1,0,1$
若关于 $x$ 的方程：$x^2-p x+6=0$ 和 $x^2+6 x-q=0$ 的解集分别为 $M, N$ ，且 $M \cap N=\{2\}$ ，则 $p+q=$

$\text{A.}$ 21 $\text{B.}$ 8 $\text{C.}$ 7 $\text{D.}$ 6
若 $1 < a < 3,-4 < b < 2$ ，那么 $a-|b|$ 的范围是（ ）

$\text{A.}$ $-3 < a-|b| \leq 3$ $\text{B.}$ $-3 < a-|b| < 5$ $\text{C.}$ $-3 < a-|b| < 3$ $\text{D.}$ $1 < a-|b| < 4$
若集合 $A$ 具有以下性质：
（1） $0 \in A, 1 \in A$ ；
（2）若 $x \in A, y \in A$ ，则 $x-y \in A$ ，且 $x \neq 0$ 时，$\frac{1}{x} \in A$ ，则称集合 $A$ 是＂好集＂，下列命题正确的个数是
① 集合 $B=\{-1,0,1\}$ 是＂好集＂；
② 有理数集 $Q$ 是＂好集＂；
③ 设集合 $A$ 是＂好集＂，若 $x \in A, y \in A$ ，则 $x+y \in A$ ．
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ 1 $\text{C.}$ 2 $\text{D.}$ 3
多选题
下列命题为真命题的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $a>b$ ，则 $a c^2>b c^2$ $\text{B.}$ 若 $-2 < a < 3,1 < b < 2$ ，则 $-4 < a-b < 2$ $\text{C.}$ 若 $b < a < 0, m < 0$ ，则 $\frac{m}{a}>\frac{m}{b}$ $\text{D.}$ 若 $a>b, c>d$ ，则 $a c>b d$
已知关于 $x$ 的一元二次不等式 $a x^2+b x+c \geq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq-2$ 或 $x \geq 1\}$ ，则

$\text{A.}$ $b>0$ 且 $c < 0$ $\text{B.}$ $4 a+2 b+c=0$ $\text{C.}$ 不等式 $b x+c>0$ 的解集为 $\{x \mid x>2\}$ $\text{D.}$ 不等式 $c x^2-b x+a < 0$ 的解集为 $\left\{x \left\lvert\,-1 < x < \frac{1}{2}\right.\right\}$
下列命题为真命题的是

$\text{A.}$ 若 $a^2+b^2=2$ ，则 $a+b$ 的最大值为 2 $\text{B.}$ 若 $0 \leq x+y \leq 2,-1 \leq x-y \leq 1$ ，则 $-\frac{3}{2} \leq 2 x+y \leq \frac{9}{2}$ $\text{C.}$ 不等式 $\frac{1-2 x}{3 x+1}>1$ 的解集是 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} < x < 0\right.\right\}$ $\text{D.}$ 当且仅当 $a, b$ 均为正数时，$\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2$ 恒成立
填空题
期中考试，某班数学优秀率为 $70 \%$ ，语文优秀率为 $75 \%$ ，上述两门学科都优秀的百分率至少为
设 $a>0, b>1$ ，若 $a+b=2$ ，则 $\frac{9}{a}+\frac{1}{b-1}$ 的最小值为
已知正实数 $x, y$ 满足 $x+2 y=2$ ，若不等式 $3 x^2-2 m x y+6 y^2+2 x+4 y>0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是
解答题
已知 $a>0, b>0$ ．
（1）求证：$a^2+3 b^2 \geq 2 b(a+b)$ ；
（2）若 $a+b=2 a b$ ，求 $a b$ 的最小值．
已知 $m>0, p:-2 \leq x \leq 6, q: 2-m \leq x \leq 2+m$ ．
（1）已知 $p$ 是 $q$ 成立的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围；
（2）若 $\neg q$ 是 $\neg p$ 成立的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围．
已知关于 $x$ 的不等式 $a x^2-(a+1) x+b < 0$ ．
（1）若不等式的解集是 $\{x \mid 1 < x < 5\}$ ，求 $a+b$ 的值；
（2）若 $a>0, b=1$ ，求此不等式的解集．
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量．经测算，企业拟安装一种使用寿命为 4 年的污水净化设备．这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积 $x$（单位：平方米）成正比，比例系数为 0.2 ．预计安装后该企业每年需缴纳的水费 $C$（单位：万元）与设备占地面积 $x$ 之间的函数关系为 $C(x)=\frac{20}{x+5}(x>0)$ ．将该企业的净水设备购置费与安装后 4 年需缴水费之和合计为 $y$（单位：万元）．
（1）要使 $y$ 不超过 7.2 万元，求设备占地面积 $x$ 的取值范围；
（2）设备占地面积 $x$ 为多少时，$y$ 的值最小？
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知 $a b=1$ ，求证：$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}=1$ ．
证明：原式 $=\frac{a b}{a b+a}+\frac{1}{1+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{1}{1+b}=1$ ．
波利亚在《怎样解题》中也指出：＂当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，它们总是成群生长．＂类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征。
请根据上述材料解答下列问题：
（1）已知 $a b=1$ ，求 $\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}$ 的值；
（2）若 $a b c=1$ ，解方程 $\frac{5 a x}{a b+a+1}+\frac{5 b x}{b c+b+1}+\frac{5 c x}{c a+c+1}=1$ ；
（3）若正数 $a, b$ 满足 $a b=1$ ，求 $M=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+2 b}$ 的最小值．

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