概率论与数理统计数学期望与方程和大数定律

发布日期 2025/10/14 16:43:19 查看 42 加入组卷查看作者

填空题

设 $X$ 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数，每次射击命中概率为 0.4 ，则 $E\left(X^2\right)=$

设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望．

设 $X \sim E\left(\frac{1}{2}\right)$ ，用切比雪夫不等式估计 $P\{-3 < X < 7\}$ ．

设总体 $X \sim E(\lambda)(\lambda>0),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，则统计量 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 依概率收敛于

设 $X \sim B\left(100, \frac{P}{10}\right)$ ，用中心极限定理估计 $P\{X \leqslant 16\}$ ．

一生产线生产包装箱，每箱重量随机，设平均每箱重量 50 千克，标准差为 5 千克，若用载重量为 5 吨的汽车装运，利用中心极限定理说明每辆车最多装多少箱，可保证不超载的概率大于 $0.977(\Phi(2)=0.977)$ 。

解答题

设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.4 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)+0.6 \Phi(3 x+1)$ ，其中 $\Phi(x)$是服从标准正态分布的随机变量的分布函数，求 $E(X)$ ．

设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，其中 $D$ 是以 $(0,1),(1,0)$ ， $(1,1)$ 为顶点的三角形区域，且 $U=X+Y$ ，求 $E(U), D(U)$ ．

设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(1,0 ; 9,16 ;-0.5)$ ，且 $Z=\frac{X}{3}+\frac{Y}{2}$ ．
（1）求 $E(Z), D(Z)$ ；（2）求 $\operatorname{Cov}(X, Z)$ ；（3）$X, Z$ 是否独立？