填空题 （共 13 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\int_0^x e^{-t^2} d t}{x^2 \arctan x}$
设函数 $f(x)$ 连续，且 $\int_0^{x^3-1} f(t) d t=x$ ，求 $f(7)$ ．
设 $\int f^{\prime}(\cos x) d x=\ln (\sin x)+c$ ，求 $f(x)$ ．
已知点 $(3,4)$ 为曲线 $y=a^2-\sqrt[3]{x-b}$ 的拐点，求 $a, b$ ．
求函数 $f(x)=2 x^2-\ln x$ 的单调区间与极值．
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+x^2 & x \leq 0, \\ \cos x & x>0 .\end{array}\right.$ 求 $\int_0^2 f(x-1) d x$ ．
求曲线 $x^3+y^3-3 x y=0$ 的斜渐近线．
$\int \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} d x$ ．
$\int \frac{d x}{\sqrt{(x-1)^3(x+1)}}$ ．
$\int \frac{x^5}{\left(2 x^2+3\right)^3} d x$ ．
$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$ ．
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} \frac{d x}{\sqrt{\left|x-x^2\right|}}$ ．
$\int_0^{+\infty} x^2 e^{-2 x^2} d x$ ，其中 $\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
假设在某个产品的制造过程中，次品数 $y$ 是日产量 $x$ 的函数为：$y=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 x}{102-x} & x \leq 100, \\ x & x>100 .\end{array}\right.$并且生产出的合格品都能售出。如果售出一件合格品可盈利 $A$ 元，但出一件次品就要损失 $\frac{A}{3}$元。为获得最大利润，日产量应为多少？
设函数 $f(x)$ 连续，$f(1)=0$ ，且满足方程 $f(x)=x e^{-x}+\int_0^1 f(x t) d t$ ，求 $f(x)$ 及 $f(x)$ 在 $[1,3]$上的最大值与最小值．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
当 $x>0$ 时，证明： $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(x) \geq 0$ 且不恒为零，证明 $\int_a^b f(x) d x>0$ ．