单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
若 $u(x, y), v(x, y)$ 为区域 $D$ 内的调和函数，则在下列函数
$$
u(x, y)+v(x, y), \quad u(x, y)-v(x, y), \quad u(x, y) v(x, y), \quad u^2(x, y)+v^2(x, y)
$$
中，调和函数的个数是（ ）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
调和函数 $u(x, y)=x^2-y^2+x$ 满足 $v(0,0)=0$ 的共轭调和函数 $v(x, y)$ 为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 x y+y$
$\text{B.}$ $2 x y-y$
$\text{C.}$ $x y+y$
$\text{D.}$ $x y-y$
判断题 （共 4 题 ）
设 $u(x, y)$ 为复平面上的调和函数，则 $u\left(x^2-y^2, 2 x y\right)$ 仍然为复平面上的调和函数．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $u(x, y), v(x, y)$ 为区域 $D$ 上的调和函数，若 $u(x, y)$ 为 $v(x, y)$ 的共轭调和函数，则 $v(x, y)$ 也为 $u(x, y)$ 的共轭调和函数．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $v(x, y)$ 是 $u(x, y)$ 在区域 $D$ 内的共轭调和函数，则 $-u(x, y)$ 是 $v(x, y)$ 在区域 $D$ 内的共轭调和函数．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
在复平面 $C$ 上的调和函数若有界，则该调和函数一定为常数．
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数 $u(x, y)=\frac{x^2+a y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}$ 为其定义域上的调和函数，则常数 $a$ 的值为 $\qquad$ ．
设解析函数 $f(z)$ 满足 $\operatorname{Re} f(z)=2 x(1-y)$ ，且 $f(0)=0$ ，则 $\operatorname{Im} f(1+i)$ 的值为 $\qquad$ ．