单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\tan (\pi+\theta)-\frac{1}{\tan (2 \pi-\theta)}=\frac{10}{3}, \theta \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\sqrt{2} \sin \left(2 \theta+\frac{\pi}{4}\right)+2 \cos ^{2}(-\theta)=$
$\text{A.}$ $-\frac{3}{10}$
$\text{B.}$ $-\frac{2}{5}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{5}$
$\text{D.}$ 0
多选题 （共 1 题 ），每题有多个选项正确
已知 $\sin \theta \cos \theta+\sqrt{3} \cos ^{2} \theta=\cos \theta+\frac{\sqrt{3}}{2}, \theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\theta=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{12}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{18}$
填空题 （共 11 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $\tan \alpha=\frac{1}{3}, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan \beta=$ $\qquad$ ．
已知 $\tan \alpha=-2, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{7}$ ，则 $\tan \beta$ 的值为 $\qquad$ ．
设 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值为 $\qquad$ ．
若 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{3}{2}, \tan \beta=2$ ，则 $\tan \alpha=$ $\qquad$ ．
函数 $f(x)=\sin (x+\varphi)-2 \sin \varphi \cos x$ 的最大值为 $\qquad$ ；
函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)-2 \sqrt{2} \sin ^{2} x$ 的最小正周期是 $\qquad$。
若 $\sin (\pi-\alpha)=\frac{\sqrt{10}}{10}, \alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$ ，则 $\tan \beta=$ $\qquad$ ．
已知 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\frac{1}{4}$ ，且 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ，则 $\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)=$
A．$-\frac{\sqrt{15}}{8}$
B．$\frac{\sqrt{15}}{8}$
C．$-\frac{\sqrt{15}}{4}$
D．$\frac{\sqrt{15}}{4}$
已知 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}$ ，则 $\cos ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=$
A．$\frac{7}{25}$
B．$\frac{9}{25}$
C．$\frac{16}{25}$
D．$\frac{24}{25}$
写出一个满足 $\tan 20^{\circ}+4 \cos \theta=\sqrt{3}$ 的 $\theta=$ $\qquad$ ．
已知 $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}, \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{3}$ ．
（1）求 $\sin \alpha$ 的值；
（2）若 $-\frac{\pi}{2} < \beta < 0, \cos \left(\frac{\beta}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $\alpha-\beta$ 的值．
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知 $\alpha$ 为锐角，若 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$ ，求 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{12}\right)$ 的值．
已知 $\tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}, \tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$ ，则 $\tan (\pi-2 \alpha)$ 的值为 $\qquad$ ．
已知 $\alpha, \beta \in\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right), \sin (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}, \sin \left(\beta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{24}{25}$ ，则 $\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$ $\qquad$ ．
已知锐角 $\alpha, \beta$ 满足 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos \beta=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $\alpha+\beta$ 的值．
已知 $\alpha, \beta$ 为锐角，且 $\sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos \beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $\alpha-\beta$ 的值．
若 $\sin 2 \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin (\beta-\alpha)=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{4}, \pi\right], \beta \in\left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$ ，则 $\alpha+\beta$ 的值为 $\qquad$ ．