单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列比 -1 小的数是（ ）
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ -1.5
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 0.0001
预计 2024 年福建省 GDP 比上一年的总增量约为 1400 亿元．将 1400 亿用科学记数法表示为（ ）
$\text{A.}$ $1.4 \times 10^3$
$\text{B.}$ $1.4 \times 10^9$
$\text{C.}$ $1.4 \times 10^{10}$
$\text{D.}$ $1.4 \times 10^{11}$
若正五边形绕着它的中心旋转一定的角度后与原来位置重合，则这个角度可以是
$\text{A.}$ $36^{\circ}$
$\text{B.}$ $72^{\circ}$
$\text{C.}$ $90^{\circ}$
$\text{D.}$ $180^{\circ}$
下列计算结果正确的是（）
$\text{A.}$ $2 a b-b=2 a$
$\text{B.}$ $-2(a-b)=-2 a-b$
$\text{C.}$ $-2 a b \cdot a=-2 a^2 b$
$\text{D.}$ $(a-b)^2=a^2-b^2$
为了解九年级同学春节期间体育锻炼总时间，老师随机抽查了本校 100 名九年级同学，将所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图．则可估计本校 500 名九年级同学春节期间体育锻炼总时间不少于 30 小时的人数大约是
$\text{A.}$ 30 人
$\text{B.}$ 70 人
$\text{C.}$ 150 人
$\text{D.}$ 200 人
如图，$A, B, C$ 是 $\odot O$ 上的三点，$\angle A B O=50^{\circ}$ ，则 $\angle C$ 的度数是
$\text{A.}$ $25^{\circ}$
$\text{B.}$ $35^{\circ}$
$\text{C.}$ $40^{\circ}$
$\text{D.}$ $50^{\circ}$
如图，滨海办公区东，西两栋办公楼的高度相等，且水平距离为 30 m ．下午 3 时太阳光线与地面所成的角是 $35^{\circ}$ ．这时东楼二层离地 3 m 的阳台与西楼的楼顶，太阳恰好在一条直线上，则这两栋办公楼的高度为
$\text{A.}$ $\left(30 \cdot \tan 35^{\circ}\right) m$
$\text{B.}$ $\left(30 \cdot \tan 35^{\circ}+3\right) m$
$\text{C.}$ $\left(30 \cdot \cos 35^{\circ}+3\right) m$
$\text{D.}$ $\left(\frac{30}{\tan 35^{\circ}}+3\right) m$
计算机中常用的十六进制是一种逢 16 进 1 的计数制，采用数字 $0 \sim 9$ 和字母 $A \sim$ $F$ 共 16 个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表：
例如，用十六进制表示 $D+E=1 B$ ，用十进制表示也就是 $13+14=1 \times 16+11$ ，则用十六进制表示 $E \times F$ 为
$\text{A.}$ 210
$\text{B.}$ $2 D$
$\text{C.}$ $6 E$
$\text{D.}$ D2
已知二次函数 $y=-x^2+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(a, 0)$ 和点 $B(a+3,0)$ ，其中 $a$ 为常数，则该二次函数的最大值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{9}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{27}{4}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知点 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$ 在反比例函数 $y=-\frac{6}{x}$ 的图象上，且 $x_1 < x_2 < 0$ ，则 $y_1, y_2$ 的大小关系是 $y_1$ $\qquad$ $y_2$ ．（填＂$>$＂或＂$ < $＂）
一个不透明的口袋中先放人除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球各 2 个，要使得从中摸到一个白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ，则需再往袋中放人形状大小都相同的$\qquad$个黑球．
不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+4 \geqslant 0, \\ 6-x>3\end{array}\right.$ 的所有整数解的和为
一根钢管放在＂V＂形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是 6 cm ，若 $\angle A P B=60^{\circ}$ ，则图中阴影部分的面积是 $\qquad$ $cm ^2$
如图，在 $\square A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连接 $D E$ ，交对角线 $A C$ 于点 $F$ ．若 $A E: E B=1: 2$ ，则 $S_{\triangle A E F}: S_{\triangle A B C}=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算： $\tan 60^{\circ}-|1-\sqrt{3}|-2^{-1}$ ．
如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 上的点，且 $\angle E O F=90^{\circ}$ ．求证：$C E=D F$
【观察发现】有些三位数，十位上的数字的两倍恰好等于百位上的数字与个位数字的和．如： 345,147 等，我们称这样的三位数为＂和倍数＂．
【猜想验证】猜想＂和倍数＂是哪个正整数（ 1 除外）的倍数，并验证你的猜想．
如图，已知 $\triangle A B C, A B=A C, A D$ 是高．
（1）求作 $\triangle A B C$ 的外接圆 $O$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若 $A B=13, B C=10$ ．求 $\triangle A B C$ 外接圆的半径．
为了解同学们一段时间以来仰卧起坐的训练情况，老师在班上各选取 10 位男生和 10 位女生，进行 1 分钟仰卧起坐对抗赛．负责统计的同学在女生最后一位选手没比完之前，完成如下不完整的统计表和折线统计图。
根据所给信息回答下面的问题：
（1）若 10 位男生和女生成绩的平均数相同．
① 将折线统计图补充完整，并根据折线统计图判断男生还是女生的成绩比较稳定；
② 求出女生选手成绩的众数；
（2）若男女生选手成绩的中位数相等，求出女生最后一位选手成绩的最小值．
为改善生活环境，减少污水排放，长青村准备筹集资金，购买甲，乙两种污水处理设备，安装在专门设置的场地，用于处理全村排放的污水．已知每套乙种设备价格比甲种设备少 $10 \%$ ，用 360 万元单独购买甲种设备比乙种设备要少 2 套，安装一套甲种设备需占地 $50 m^2$ ，一套乙种设备需占地 $40 m^2$ ．
（1）甲，乙两种污水处理设备每套分别是多少万元？
（2）长青村共筹集到资金 500 万元，准备购买 20 套甲，乙两种污水处理设备，经预算，安装设备的前期准备工程的费用不少于总资金的四分之一，求安装这 20 套污水处理设备占地的最大面积是多少 $m ^2$ ？
日晷仪，简称日晷，是一种通过观测日影来记录时间的古老仪器（如图（1）），在我国古代被广泛使用．小明为了探究日晷的奥秘，在不同时间段对日晷进行了仔细观察．如图（2），日晷的平面是以点 $O$ 为圆心的圆，线段 $A B$ 为日晷的底座，点 $E$ 为日晷与底座的接触点（即 $A B$与 $\odot O$ 的切点），$O C$ 为某一时刻晷针的影长（点 $C$ 恰好落在 $\odot O$ 上），并且此时点 $C, O, A$ 恰好在一条直线上．连接 $O A$ 交 $\odot O$ 于点 $D$ ，连接 $O B$ 交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $D F, B C$ ．已知 $A E=$ $B E, D F=3 \sqrt{3} dm , \angle A=30^{\circ}$ ．
（1）求证：$B C$ 是 $\odot O$ 的切线．
（2）随着时间的推移，点 $C$ 从图（2）所示的位置开始在圆周上顺时针方向缓缓移动，当点 $C$ 第一次移动至与 $A B$ 的距离为 0.6 dm 时，求出点 $C$ 在这段时间内所经过的路径长．
（参考数据： $\sin 37^{\circ} \approx 0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.80, \tan 37^{\circ} \approx 0.75$ ）
已知抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 的顶点是 $A(2,-1)$ ，且扡物线过点 $B(0,3)$ ．
（1）求抛物线的表达式．
（2）将抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 向右平移 $m$ 个单位长度，得到一个新扡物线，使得新扡物线上，当 $-1 < x < 3$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小；当 $4 < x < 5$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大．求 $m$ 的取值范围．
（3）点 $P$ 是抛物线上任意一点，其横坐标为 $n$ ，设抛物线上点 $P$左侧的部分为图象 $G$（含点 $P$ ）．若图象 $G$ 的最低点的纵坐标为 $3-n$ ，直接写出 $n$ 的值．
勾股分割点 【新知引入】定义：如图（1），点 $M, N$ 把线段 $A B$ 分割成 $A M, M N$ 和 $B N$ ，若以 $A M, M N, B N$ 为边的三角形是一个直角三角形，则称点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点．
（1）已知点 $M, N$ 是线段 $A B$ 的勾股分割点，若 $A M=3, M N=5$ ，则 $B N=$ $\qquad$。
【探究证明】
（2）如图（2），在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}, M, N$ 在线段 $B C$ 上，且 $\angle M A N=45^{\circ}$ ．求证：点 $M, N$ 是线段 $B C$ 的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在 $\odot O$ 中，圆心角 $\angle A O B=90^{\circ}, P$ 是 $\odot O$ 上一动点，连接 $A B, P A, P B$ ，分别作 $P A, P B$ 的垂直平分线，分别交直线 $A B$ 于点 $C, D$ ，已知 $A B=14$ ，当 $\triangle A B P$ 是以 $A B$ 为底边的等腰三角形时，请直接写出线段 $C D$ 的长．
