解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判断下列二次型是否正定二次型．
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+4 x_3^2+2 x_1 x_2-4 x_2 x_3 .
$$
试判断下列二次型是否正定二次型．
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=7 x_1^2+x_2^2+x_3^2-2 x_1 x_2-4 x_1 x_3 .
$$
判断 $n$ 阶 $(n \geqslant 2)$ 矩阵 $A$ 是否正定矩阵，
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 2 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 2
\end{array}\right)
$$
设二次型
$$
f=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2+2 t x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3 .
$$
问 $t$ 取何值时，$f$ 为正定二次型。
设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$k, l$ 是正数，证明 $k A+l B$ 是正定矩阵。
设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，试证明 $A^{-1}$ 也是正定矩阵。
设 $A, B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $A$ 正定，试证明当实数 $t$ 充分大时，$t A+B$ 也正定
设 $A$ 是正定矩阵，证明 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 也是正定矩阵。
设 $A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，试证明 $A B$ 正定的充分必要条件是 $A B=B A$ ．
设 $A, B$ 是实对称矩阵，且 $A B=B A$ ，则存在正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^{-1} A Q$ 和 $Q^{-1} B Q$ 同时为对角矩阵。
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $|A| < 0$ ，证明存在非零向量 $x_0$ ，使得 $x_0^{ T } A x_0 < 0$ ．
设 $A$ 为实对称矩阵，若 $A^2=I$ ，证明 $A+I$ 是半止定矩阵或正定矩阵。
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵，若 $A-I$ 正定，试证明 $I-A^{-1}$ 也正定。
设 $A$ 是 $m \times n$ 的实矩阵，$m < n$ ．证明 $A A^{ T }$ 正定的充分必要条件是 $r(A)=m$ 。
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，证明存在上三角矩阵 $R$ ，使得 $A=R^{ T } R$ ．
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，$X$ 为任意 $n$ 维向量，证明 $\left|\begin{array}{cc}0 & X^{ T } \\ X & A\end{array}\right|$ 是负定二次型。