解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$A=\left(a_1 a_2 \cdots a_n\right), B=\left(b_1 b_2 \cdots b_n\right)$ ，
求 $(1) A B^{ T }, A^{ T } B$ ；（2）令 $C=A^{ T } B$ ，求 $C^k$ ．
已知 $A=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ，求 $A^n$ ．
已知 $A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求与 $A$ 可交换的矩阵．
设 $A \in M_n$ ，如果对于任意 $n$ 维列向量 $\alpha$ ，都有 $\alpha^{ T } A \alpha=0$ ，则 $A$ 是反对称矩阵。
证明任何一个 $n$ 阶矩阵都可表示为一对称阵与一反对称阵之和。
设 $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ ，问 $A$ 可逆的条件，并此时求 $A^{-1}$ ．
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & -1\end{array}\right)$ ，问 $A$ 可逆否，若可逆，求 $A^{-1}$ ．
设 $A \in M_n$ ，且满足 $A^2-2 A+2 I=0$ ，问 $A+I$ 可逆否？若可逆，求 $(A+I)^{-1}$ ．
已知 $I+A B$ 可逆，证明 $I+B A$ 也可逆，且 $(I+B A)^{-1}=I-$ $B(I+A B)^{-1} A$ ．
设 $A \in M_n$ ，且满足 $A^2=0$ ．求证 $A+I$ 可逆，并求 $(A+I)^{-1}$ ．
设 $A, B \in M_n$ ，且 $A, B, A+B$ 均可逆证明 $A^{-1}+B^{-1}$ 可逆，并求 $A^{-1}+B^{-1}$ 的逆矩阵．
已知 $A$ 是 $n$ 阶对称矩阵．且 $A$ 可逆若 $(A-B)^2=I$ ，化简 $(I+$ $\left.A^{-1} B^{ T }\right)^{ T }\left(I-B A^{-1}\right)^{-1}$ ．
设 $A, B \in M_3$ ，且满足 $A B+I=A^2+B$ ，又 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，
求矩阵 $B$ ．
设 4 阶矩阵
$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{llll}
2 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
且矩阵 $A$ 满足关系式 $A\left(I-C^{-1} B\right)^{ T } C^{ T }=I$ ，求矩阵 $A$ ．