填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
求下列排列的逆序数及奇偶性：
（1） 25314
（2） 364512
（3）$n(n-1)(n-2) \cdots 21$
（4）$(2 n) 1(2 n-1) 2(2 n-2) 3 \cdots(n+1) n$
已知 $\tau\left(j_1 j_2 \cdots j_{n-1} j_n\right)=t$ ．求 $\tau\left(j_n j_{n-1} \cdots j_2 j_1\right)$ ．
（1）在 5 阶行列式中，问项 $a_{12} a_{24} a_{35} a_{41} a_{53}$ 前面应冠以什么符号？
（2）写出在 5 阶行列式中，包含因子 $a_{24}, a_{31}$ 与 $a_{45}$ 且冠以负号的项．
求函数 $f(x)=\left|\begin{array}{rrrr}x & 1 & 1 & -1 \\ 1 & x & 2 & 1 \\ 1 & 2 & x & x \\ -1 & 3 & 2 & x\end{array}\right|$ 中 $x^3$ 项前的系数．
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算$ D=\left|\begin{array}{ccccc}
0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\
0 & \cdots & 2 & 0 & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\
n-1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & n
\end{array}\right|$
计算$D=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{22} & a_{23} & 0 \\
0 & a_{32} & 0 & a_{34} \\
0 & 0 & a_{43} & a_{44}
\end{array}\right| .$
用定义计算 $D=\left|\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{25} \\
0 & 0 & 0 & a_{34} & a_{35} \\
0 & 0 & 0 & a_{44} & a_{45} \\
0 & 0 & 0 & a_{54} & a_{55}
\end{array}\right| .$
设 $a, b, c$ 是方程 $x^3+p x+q=0$ 的三个根，求
$$
D_3=\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \\
b & c & a \\
c & a & b
\end{array}\right| .
$$
计算行列式
$$
D=\left|\begin{array}{rrrr}
1 & 3 & -1 & 3 \\
3 & -2 & 2 & 4 \\
0 & 1 & 1 & -5 \\
1 & 4 & -2 & 3
\end{array}\right|
$$
计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccc}
2 & -3 & 4 & 5 \\
3 & -2 & 3 & 4 \\
5 & 4 & -3 & 2 \\
4 & 6 & -4 & -5
\end{array}\right|
$$
计算 $D=\left|\begin{array}{llll}2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right|$
计算 $D=\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1-a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1-b\end{array}\right|$ ．
若 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x-3 & x-2 & x-3 & x-4 \\ 2 x-3 & 2 x-2 & 2 x-3 & 2 x-4 \\ 3 x-4 & 3 x-3 & 4 x-5 & 3 x-5 \\ 4 x & 4 x-2 & 5 x-2 & 4 x+3\end{array}\right|$ ．
问方程 $f(x)=0$ 有几个根？
用 Laplace 定理计算
$D=\left|\begin{array}{cccccc}a_{11} & \cdots & a_{1 n} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n n} & 0 & \cdots & 0 \\ c_{11} & \cdots & c_{1 n} & b_{11} & \cdots & b_{1 m} \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{m 1} & \cdots & c_{m n} & b_{m 1} & \cdots & b_{m m}\end{array}\right|$ ；
用 Laplace 定理计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
0 & \cdots & 0 & a_{11} & \cdots & a_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & a_{n 1} & \cdots & a_{n n} \\
b_{11} & \cdots & b_{1 m} & c_{11} & \cdots & c_{1 n} \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{m 1} & \cdots & b_{m m} & c_{m 1} & \cdots & c_{m n}
\end{array}\right|
$$